Continuidad de una función en un punto.

Habilidades Define el concepto de continuidad de una función en un punto. Explica con sus palabras que se entiende por continuidad desde la izquierda y desde la derecha y en un intervalo. Aplica los teoremas sobre funciones continuas para establecer la continuidad de funciones sencillas. Reconoce la continuidad en su dominio natural de las funciones más empleadas. Explicar con sus palabras el teorema de valor intermedio para funciones continuas. Clasifica las discontinuidades mediante la observación de la gráfica, o mediante el análisis de sus expresiones analíticas.

Motivación En la sesión anterior, se estableció que si f es un polinomio ó una función racional y a está en el dominio de f, entonces ¿Son estás las únicas funciones que cumplen con esta propiedad? Será posible crear una clase que agrupe ha un conjunto más amplios de funciones y se cumpla que

Definición Una función f es continua en un número a si Es decir: 1 f(a) existe 1 existe 2 3 Nota: Si f no es continua en a decimos que es discontinua en a

Ejemplo 1 En la figura se muestra la gráfica de una función. ¿En qué puntos es discontinua? Justifique su respuesta. y y = f(x) 1 2 3 4 5 x

Discontinuidad evitable y y = f(x) existe a x Discontinuidad evitable o removible

Discontinuidad por salto y Discontinuidad por salto a x y = f(x) existe existe

Discontinuidad infinita y Discontinuidad infinita a x y = f(x) Uno o ambos límites laterales infinitos.

Ejemplo 2 ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

Ejemplo 2 ¿ En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? Clasifique las discontinuidades.

Continuidad lateral Una función f es continua por la derecha o desde la derecha de a si ) ( lim a f x = + ® Una función f es continua por la izquierda o desde la izquierda de a si

Continuidad en un intervalo f continua en (a, b) f continua en [a, b) f continua en (a, b] f continua en [a, b] f es continua para todo x(a, b). f es continua en (a, b) y por la derecha de a. f es continua en (a, b) y por la izquierda de b. f es continua en (a, b), por la derecha de a y por la izquierda de b.

Ejemplo Analice la continuidad de la función en los siguientes intervalos: [a,b], (b,c] y en [a,c] y f a b c x

Operaciones con funciones continuas Si f y g son continuas en a, entonces también son continuas en a: f + g f - g cf c: constante f.g

Funciones continuas importantes Son continuas en todo número de su dominio: polinomios funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales funciones logarítmicas

Límite y continuidad de funciones compuestas Si f es continua en b y , entonces: Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces es continua en a.

Teorema del valor intermedio Sea f continua en [a, b] y N un número estrictamente entre f(a) y f(b). Entonces existe (al menos) un número c en (a, b) tal que f(c) = N. a x y = f(x) f(a) f(b) b N c

Ejercicio 3, Pág. 128 y x -2 2 4 6 -4

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Secciones 2.5, páginas 119 - 130