Tema X Límites de funciones MATEMÁTICAS II Tema X Límites de funciones @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. 6. LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Interpretación métrica del concepto de límite. Propiedades de los límites. Resolución de indeterminaciones. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. LÍMITES DE FUNCIONES TEMA 10.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a” lím f(x) xa Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa: lím f(x) = L xxo EJEMPLO: lím x2 = 22 = 4 x2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, … @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Una sucesión ( o una función ) que tiene límite se llama … Sucesión ( o función ) CONVERGENTE. Una sucesión ( o una función ) que no tiene límite se llama … Sucesión ( o función ) DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. Una sucesión ( o una función ) que presenta dos límites diferentes se llama … Sucesión ( o función ) OSCILANTE. EJEMPLOS: lím (3.x2 +1) / x2 = 3  FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo xoo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo  FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x1 lím (- 1)n = +/- 1  FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N noo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

PROPIEDADES OPERATIVAS a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma de funciones es la suma de los límites: lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x) xa xa xa c) El límite de una diferencia de funciones es la diferencia de los límites: lím (f(x) - g(x)) = lím f(x) - lím g(x) xa xa xa d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x) . g(x)) = lím f(x) . lím g(x) xa xa xa e) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) xa xa xa f) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) xa xa xa g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) xa b b xa @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. LÍMITES LATERALES En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L1 xxo+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L2 xxo-- Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. LIMITES INFINITOS en un punto LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Si representamos la función: y = x / ( x - 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x3+ x - 3 +0 pues x vale algo más de 3. lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x3- x - 3 - 0 pues x vale algo menos de 3. Y 1 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplo: Si representamos la función: y = x / ( x2 - 4) vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x2+ x2 - 4 +0 pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo x2- x2 - 4 - 0 pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 x - 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x- 2+ x2 - 4 - 0 pues x vale algo más de – 2 y x2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x- 2- x2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y x2 > 4 Y -2 0 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.