Esta presentación, contiene el apoyo teórico básico sobre relaciones y funciones 1 Definición 2 Clasificación 3 Características El objetivo es que, al final del tema, puedas identificar una función y sus elementos y clasificarla mediante algunas de sus características

Cosas que se relacionan Relación Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o sujetos representada como un conjunto de pares ordenados La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5 Relación Cosas que se relacionan 1 Es un múltiplo de … Número enteros 2 No es igual a … Números 3 Da más leche que … Vacas 4 Es congruente con … Triángulos

Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos 1 Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un conjunto de números 2 El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuenta La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa

Ejemplo Sean los conjuntos L; formado por las vocales latinas, y G; formado por las vocales griegas Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinas con las vocales griegas (transliteración), R: LG. Representación con pares ordenados

Ejemplo Representación gráfica

Ejemplo Representación gráfica

Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales Funciones Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P El diagrama establece que Arturo y Aurora son hijos de Rogelio, que Pedro es hijo de Enrique, Norma es hija de Mario y Fátima es hija de Víctor.

¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura? Funciones ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura? ¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una persona tenga dos padres Si una relación excluye este tipo de correspondencias entre los elementos de los conjuntos que la definen, hablamos de una FUNCIÓN

Una función se define formalmente de la siguiente manera: Funciones Una función se define formalmente de la siguiente manera: Sea f: A  B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada xA hay un solo yB tal que x  f  y, que se denota como y=f(x). i Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A ii Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIO iii A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la función iv A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA

Las funciones se clasifican: 1 Por la relación entre el Dominio y el Contradominio Inyectivas Suprayectivas Biyectivas 2 Por su regla de correspondencia Algebraicas Trascendentes 3 Por su simetría Pares Impares

x1,x2 si [f(x1) = f(x2)]  [x1= x2] Función Inyectiva Si f: A  B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones A x1,x2 si [x1≠ x2 ]  [f(x1) ≠ f(x2)] B x1,x2 si [f(x1) = f(x2)]  [x1= x2] Ejemplo Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento. A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento

¿Esta relación es una función? Función Inyectiva Ejemplo En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro. Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Lugar 2 Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 ¿Esta relación es una función? Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo Lugar 1 Carro 1 Lugar 2

En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones Ejemplo ¿Esta función es inyectiva? Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros diferentes, el lugar de estacionamiento que les corresponde es diferente. Carro 2 Lugar 2 Carro 3 En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones

yB existe xA tal que y=f(x) ¡Esta función NO es inyectiva! Función Suprayectiva Si f: A  B es una función, es sobreyectiva si se cumple que: A Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio) yB existe xA tal que y=f(x) Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 2 Todos los elementos del contradominio SON imágenes de algún o algunos elementos del dominio. Carro 4 Lugar 3 Carro 5 Lugar 4 ¡Esta función NO es inyectiva! Carro 6 Lugar 5

¿La función del ejemplo anterior es suprayectiva? Función Suprayectiva ¿La función del ejemplo anterior es suprayectiva? Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Lugar 2 Carro 3 Lugar 3 Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Lugar 6 Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.

Función Biyectiva Si f: A  B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva, es decir, Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos diferentes elementos del dominio A Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al menos un elemento del dominio B Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de lugares de estacionamiento. Carro 1 Lugar 1 Carro 2 Lugar 2 Ejemplo Carro 3 Lugar 3 Todos los elementos del contradominio SON imágenes de solo un elemento del dominio. La función es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo. Carro 4 Lugar 4 Carro 5 Lugar 5 Carro 6 Lugar 6

Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia. Ejemplos Funciones Racionales Función cuadrática A Función lineal B Función Polinomial (entera) de grado “n” C D Función Racional No entera

Funciones Algebraicas Funciones Irracionales Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia. Ejemplos Funciones Irracionales A B C D Las funciones irracionales incluyen radicales en la regla de correspondencia E

Funciones trascendentes Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre de funciones trascendentes o trascendentales Ejemplos A Función Exponencial B Función logaritmo C Funciones Trigonométricas (circulares) D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas

f(x)=f(-x) f(-x)=-f(x) Función Par Una función es par cuando se cumple que: f(x)=f(-x) Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y Función Impar Una función es impar cuando se cumple que: f(-x)=-f(x) Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas

Operaciones con Funciones Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la: 1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x) 2 Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x) 3 Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x) 4 División: (f/g)(x) = f(x) / g(x) 5 Composición: (fg)(x) = f(g(x))