Tema 3. PARALELISMO

t l PARALELISMO Definición Rectas Paralelas. : Dos rectas l y t son paralelas si y sólo si son coplanares y no se intersectan Notación: l ‖t se lee: la recta l es paralela a t t l Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas o se cortan.   La recta l no es paralela y no se corta con la recta t por estar en planos diferentes

Definición: dos planos  y  son paralelos si su intersección es el conjunto nulo.     Una recta l y un plano  son paralelos si su intersección es el conjunto nulo. l 

Definición: Dos rectas son perpendiculares si se interceptan para formar ángulos adyacentes congruentes.   l m Axioma del Paralelismo de Euclides: Por un punto dado, que no esté en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a la recta dada.   . l m

Demostración por reducción al absurdo l1  l2 Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma recta t, son paralelas entre sí. Hipótesis l1  t l2  t Tesis l1  l2 t l1 l2 Demostración por reducción al absurdo l1  l2 l1 y l2 se cortan en P, esto contradice el teorema que dice: Por un punto P puede pasar una y sólo una perpendicular a una recta dada.   Luego; l1  l2 l2 t P . l1 En conclusión el Teorema: Dos rectas Coplanares l1 y l2 perpendiculares a una misma recta t, son paralelas entre sí, es verdadero.

  Definición Recta Transversal o Secante: Es la recta que corta dos o más rectas.   Ángulos interiores 3 y 4, 5 y 6 Ángulos exteriores 1 y 2, 7 y 8 Ángulos Alternos internos 3 y 6, 4 y 5 Ángulos Alternos externos 1 y 8, 2 y 7 Ángulos Correspondientes 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8. Ángulos colaterales o conjugados 1 y 7, 2 y 8, 3 y 5, 4 y 6 1 2 l1 3 4 5 6 l2 7 8 t

Por reducción al absurdo l1  l2 Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas. Teorema directo () Hipótesis s corta a l1 y l2   β Tesis l1  l2 s l1  β l2 s Por reducción al absurdo l1  l2 Proposiciones 1.- l1  l2 Hipótesis temporal 2.-  > β Por ser exterior al ΔABP Contradice la hipótesis, entonces, l1  l2 A  β l2 B P l1 La tesis es verdadera Luego, el Teorema directo es verdadero

Teorema: Dos rectas l1 y l2 cortadas por una secante s forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas. Teorema recíproco s () Hipótesis s corta a l1 y l2 l1  l2 Tesis   β l1  β l2 Por reducción al absurdo  ≠ β   > β ó  < β Caso 1:  > β 1.- θ  β Por construcción s l1 . 2.- Si θ  β  t  l2 Si los ángulos alternos internos son congruentes las rectan secantes son paralelas 3.- l1  l2 y t  l2 pasan por A Esto contradice el Axioma del paralelismo de Euclides. Por un punto dado, que no esté en una recta dada, se puede hacer pasar cuando más una paralela a la recta dada t A  θ β l2 En consecuencia  > β

Caso 2:  > β: El procedimiento es igual y en consecuencia  > β Por tanto, si  ≠ β    β Luego, el Teorema reciproco es verdadero EN CONCLUSIÓN: El teorema: Dos rectas l1  l2 cortadas por una secante s forman ángulos alternos internos iguales si y sólo sí son paralelas, es verdadero

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales suplementarios si y sólo si son paralelas. s 1.   β por ser alternos internos entre  s 2.   ’ por ser opuestos por el vértice ’  l1 β 3. ’  β sustitución de 1 en 2 l2 4. ’  β son correspondientes congruentes si y sólo si las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son suplementarios si y sólo si son paralelas. ’  β por ser correspondientes entre  s s 2. β  β’ por ser opuestos por el vértice ’  l1 3. ’  β sustitución de 1 en 2 β l2 β’ 4. ’  β son alternos externos congruentes si y sólo si las rectas son paralelas

Corolario: Dos rectas cortadas por una secante forman ángulos correspondientes iguales, alternos externos iguales y colaterales son suplementarios si y sólo si son paralelas. 1. ’  β’ son alternos externos congruentes si y sólo si las rectas son paralelas s λ ’ 2. ’  λ son suplementarios  l1 3. β’  λ’ son suplementarios β l2 4. β’  λ son colaterales suplementarios si y sólo si las rectas son paralelas Sustitución de 1 en 2 β’ λ’ 5. ’  λ’ son colaterales suplementarios si y sólo si las rectas son paralelas Sustitución de 1 en 3

.D l Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180.  Hipótesis , β y  son s interiores del ΔABC   Tesis  + β +  = 180 Proposiciones  1.- AB  l Por construcción 2.-   θ s alternos internos entre ∥s 3.- CD es la prolongación de BC Por construcción 4.- β   s correspondientes entre ∥s 5.-  + θ +  = 180 Suma de s. Def. de  llano 5.-  + β +  = 180 Sustitución de 2 y 3 en 4 l A   θ  β .D B C La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo 180, es verdadero

Corolario: Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los otros 2 ángulos interiores no adyacentes a él. Corolario : Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60. + β +  = 180  = β = = 60 Corolario : Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. l A   + β =   β β  B C A   β B C  + β + 90 = 180  + β = 90

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Un triángulo rectángulo es congruente a otro si tienen congruente:   a.- Los catetos. ALA    b, Un ángulo y cualquier lado (Cateto)   c.- Un cateto y la hipotenusa   Criterio A.L.A.  Criterio A.L.A.  4to Criterio  

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías: DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data. PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México: Thomson Editores S.A. HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa