II.- Algebra Básica Expresión algebraica y sus partes. Operaciones con Términos Semejantes.

Expresión algebraica y sus partes Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Partes Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-). Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores Ejemplo: En 7ab2c  ;  7 es coeficiente de ab2c a es coeficiente de 7b2c b2 es coeficiente de 7ac c es coeficiente de 7ab2 En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.

Variable (o parte literal). Cantidad generalizada. Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma. Ejemplos: a) -2x2; Signo: negativo Coeficiente: -2 Variable: x Exponente: 2 b) ax2y3; Signo: positivo Coeficiente: a Variables: x , y Exponentes: 2 (de la x) 3 (de la y)

Ejercicios a) n-2a2b5 Coeficiente de a2b5 b) 8y2x3 Exponente de y c) 7ax9yz7 Signo d) -36ab2x5c Número de variables e) -4abcx2 Signo f) 10m2n3b Coeficiente de 10m2n3 g) 54 Número de variables h) 5ab4c Exponente de c i) 18c3m2 Coeficiente de c3m2 j) 45m4 Número de variables

Valor numérico de una Expresión Algebraica Para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2Õr r = 5. L (5)= 2 · 5 = 10 S(l) = l2 l = 5. A (5)= 52 = 25 V(a) = a3 a = 5 V (5) = 53 = 125

Clasificación de las Expresiones Algebraicas Monomio Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios. Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios. Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.

Partes de un Monomio Coeficiente El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de: 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Términos Semejantes Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos: 2x2y3 es semejante a -2 x2y3 3 -3x5y es semejante a 2yx5 4xy1/2 es semejante a -2 y1/2x 3 4x2y no es semejante a 3xy2

2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas Términos semejantes Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo género de suma, por ejemplo: 2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir: 2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas de igual manera, 3x2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar: 3x2 + 5x2 = 8x2 pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.

Reducción de Términos Semejantes Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos. Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos no semejantes, no pueden sumarse ni restarse.

Ejemplo Ejemplo: Reducir la siguiente expresión algebraica 2x2 + 5x + 3 - 4x2 + 2x - 7 - 8x + 2x2 - 3 = Si observas la expresión, encontramos tres tipos de términos: 1) x2 2) x 3) Términos independientes (números solos, sin variable) Así que sumaremos cada uno de esos términos 2x2 - 4x2 + 2x2 =    ( 2 - 4 + 2 )x2 = 0x2 5x + 2x - 8x =    ( 5 + 2 - 8 )x = - 1x 3 - 7 - 3 =    ( 3 - 7 - 3 ) = -7 es decir: 2x2 + 5x + 3 - 4x2 + 2x - 7 - 8x + 2x2 - 3 = - x - 7

Ejercicio. a) 3x + 2y - 4z + 2x - 3y + 3z - 4x + 5y + 7z = b) -2x + 5y - 6z + 3x - 7y + 9z - 4x + 2y + 2z = c) 7ab - 6bc + 5ac + 5bc + 7ac - 6ab + 2bc + 3ab - 8ac = d) 5x - 2y - 3z + 6y - 7x + 7z + 3x - 2z - 5y = e) 11ax - 10cz - 9by + 3by + 4ax + 7cz + 6by + 4cz - 14ax =

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Introducción Un monomio es una expresión algebraica que se compone de un sólo término algebraico, por tanto su composición no refleja sumas ni restas, por ejemplo: 5ab 3xy2 Cuando dos términos algebraicos, se encuentran realizando operaciones de suma o resta, se le denomina binomio, porque se compone de 2 monomios, por ejemplo: 12mn + 32xy 45ab2 - 18a2b

Si es una suma o resta de tres términos algebraicos o monomios, dentro de una expresión algebraica, entonces se denomina trinomio. Por ejemplo: -24mx3 + 18xy2 - 13mx 89x2 - 56x - 25y Finalmente, un polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios. De esta forma un binomio y un trinomio son polinomios, así como aquellos que se compongan de más términos algebraicos. Por ejemplo: 45mn - 875xy + 34x2 12ab3 + 38ab - 21a2b3 + 93x + 2a3z

Suma y resta de monomios Sumar es agrupar dos o más expresiones en una sola (lo mismo que restar), en otras palabras, sumar o restar es reducir los términos semejantes de varias expresiones y escribirlas en una sola expresión. Suma de monomios Sólo pueden sumarse monomios que tengan términos semejantes. Ejemplo: Sumar  3a,+b,-2a,+6b,-7a,-3b Para sumarlos, sólo escribimos en forma continua (uno tras otro). Cuando se trata de números negativos, colocamos el signo mas (pues estamos sumando) y después el término dentro de un paréntesis: 3a+b+(-2a)+6b-7a-3b

3a+b+(-2a)+6b+(-7a)+(-3b) = 3a+b-2a+6b-7a-3b Antes de continuar con la operación debemos eliminar los paréntesis que contiene la expresión, para ello, debemos multiplicar el signo de los términos que están dentro del paréntesis por el que se encuentra afuera.    3a+b+(-2a)+6b+(-7a)+(-3b) = 3a+b-2a+6b-7a-3b de la expresión anterior sólo podemos sumar términos semejantes (a´s con a´s, b´s con b´s) = 3a+b-2a+6b-7a-3b =(3-2-7)a+(1+6-3)b =-6a+4b

Resta de monomios En el caso de la resta se debe tener mucho cuidado con quién es el minuendo y quién es el sustraendo; recuerda que lo que se resta es el sustraendo y de lo que se resta es el minuendo. Ejemplo: Las reducciones de paréntesis tienen el mismo procedimiento que la suma.      Restar 5x de - 3x            (- 3x) - (5x) =             - 3x - 5x =            (- 3 - 5)x=             -8x

Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. 5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z

Producto de Monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. axn · bxm = (a · b)bxn +m 5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3

Cociente de Monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias axn / bxm = (a / b)bxn − m

Potencia de un Monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia. (axn)m = am· bxn· m (2x3)3 = 23(x3)3 = 8x8 (-3x2)3 = (-3)3(x3)2 = −27x6