Regla de Simpson 1/3 simple Integración numérica Regla de Simpson 1/3 simple El método consiste en usar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función y tomar las integrales bajo tales polinomios. Polinomio de lagrange P2(x) de segundo grado como una aproximación de f(x) Fórmulas

Regla de Simpson 1/3 Simple Integración numérica Regla de Simpson 1/3 Simple Utilizar la regla de Simpson 1/3 simple para aproximar la integral Fórmulas

Regla de Simpson 1/3 compuesta Integración numérica Regla de Simpson 1/3 compuesta En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson 1/3. Fórmulas

Regla de Simpson 1/3 compuesta Integración numérica Regla de Simpson 1/3 compuesta Utilizar la regla de Simpson 1/3 compuesta con n=4 Subintervalos para aproximar la integral Hojas de cálculo

ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO DE EULER Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Condición inicial y(0) = x0 Xn+1=xn+h yn+1 = yn + f(xn, yn)h Fórmulas

MÉTODO DE EULER (Ejercicio) Dada la siguiente ecuación diferencial 2xy = dy/dx con la condición inicial: y(0) = 1 (a) Resuélvala analíticamente. (b) Utilice el método de Euler en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 (c) Aproxime y(0.5) (d) Grafique y compare los resultados Xn+1=xn+h yn+1 = yn + f(xn, yn)h (a) Resuélvala analíticamente. y = ex2 (b) Utilice el método de Euler en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 Condición inicial: x = 0 → y = 1 , (x0 , y0 ) = ( 0 ; 1 ) i xi yi 0 0 1 1 0,1 1 2 0,2 1,02 3 0,3 1,0608 4 0,4 1,124448 5 0,5 1,21440384 6 0,6 1,33584422 7 0,7 1,49614553 8 0,8 1,70560591 9 0,9 1,97850285 10 1 2,33463336 n=0 x1 = x0 + h = 0 + 0,1 = 0,1 y1 = y0 + f (x0 , y0 ).h= 1+ 2(0)(1) ⋅ 0,1 = 1 n=1 (x1 , y1 ) = ( 0,1 ; 1 ) x2 = x1 + h = 0,1 + 01 = 0,2 y2 = y1 + f (x1 , y1 ).h= 1+ 2(0,1)(1) ⋅ 0,1 = 1,02

MÉTODO DE EULER (Ejercicio) Dada la siguiente ecuación diferencial 2xy = dy/dx con la condición inicial: y(0) = 1 (a) Resuélvala analíticamente. (b) Utilice el método de Euler en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 (c) Aproxime y(0.5) (d) Grafique y compare los resultados Xn+1=xn+h yn+1 = yn + f(xn, yn)h (c) Aproxime y(0.5) El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler esta dado por: Er =5.423% (d) Grafique y compare los resultados

MÉTODO DE EULER MODIFICADO Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. Esto permite obtener una mejor aproximación de la pendiente en todo el intervalo. Xn+1=xn+h y*n+1 = yn + f(xn, yn)h yn+1 = yn + ((f(xn, yn)+f(xn+1, y*n+1))/2)h Fórmulas

MÉTODO DE EULER MODIFICADO MÉTODO DE EULER MODIFICADO Dada la siguiente ecuación diferencial 2xy = dy/dx con la condición inicial: y(0) = 1 (a) Resuélvala analíticamente. (b) Utilice el método de Euler modificado en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 (c) Aproxime y(0.5) (d) Grafique y compare los resultados Xn+1=xn+h y*n+1 = yn + f(xn, yn)h yn+1 = yn + ((f(xn, yn)+f(xn+1, y*n+1))/2)h (a) Resuélvala analíticamente. y = ex2 (b) Utilice el método de Euler en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 i xi yi 0 0 1 1 0,1 1,01 2 0,2 1,040704 3 0,3 1,093988 4 0,4 1,173192 5 0,5 1,283472 6 0,6 1,432355 7 0,7 1,630593 8 0,8 1,893445 9 0,9 2,242596 10 1 2,709057 n=0 Condición inicial: x = 0 → y = 1 , (x0 , y0 ) = ( 0 ; 1 )

MÉTODO DE EULER MODIFICADO MÉTODO DE EULER MODIFICADO Dada la siguiente ecuación diferencial 2xy = dy/dx con la condición inicial: y(0) = 1 (a) Resuélvala analíticamente. (b) Utilice el método de Euler modificado en el intervalo de x = 0 a 1 con tamaño de paso 0.1 (c) Aproxime y(0.5) (d) Grafique y compare los resultados Xn+1=xn+h y*n+1 = yn + f(xn, yn)h yn+1 = yn + ((f(xn, yn)+f(xn+1, y*n+1))/2)h (c) Aproxime y(0.5) El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler modificado esta dado por: Er =0.044%

MÉTODO DE RUNGE –KUTTA DE CUARTO ORDEN Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitios para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Fórmulas

MÉTODO DE RUNGE –KUTTA DE CUARTO ORDEN Continuación Fórmulas

MÉTODO DE RUNGE –KUTTA DE CUARTO ORDEN El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la Runge-Kutta esta dado por: Er = 0.000779% Hojas de cálculo