Ecuaciones diferenciales 3. Transformada de Laplace Objetivo El alumno aplicará la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace: descomposición en fracciones parciales Forma inversa de la derivada de una transformada Convolución de funciones Teorema de convolución
Descomposición de F(s) en fracciones parciales para el cálculo de f(t) Cuando F(s) se encuentra en la forma El polinomio del denominador puede expresarse mediante factores de la forma siguiente:
1. Factores lineales sin repetir: En este caso es posible expresar a F(s) como donde
Ejemplo Calcule
2. Factores lineales repetidos: En este caso es posible expresar a F(s) como donde
Ejemplo Calcule
3. Factores cuadráticos: En este caso es posible expresar a F(s) como
Ejemplo Calcule
Forma inversa de la derivada de una transformada
Ejemplo Calcule
Convolución de funciones La convolución de dos funciones f(t) y g(t) es una función de t definida por
Propiedades de la convolución La convolución es una operación lineal y conmutativa:
Calcule lo siguiente:
Teorema de convolución Sean f(t) y g(t) dos funciones continuas por partes en [0,) y de orden exponencial a, y sean F(s) = L{f(t)} y G(s) = L{g(t)}. Entonces, O en forma inversa,
Utilice el teorema de convolución para calcular lo siguiente: 1 2