¿En qué intervalos la función crece (decrece.)? B C D E F G H

MONOTONIA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN: Una función f es creciente en un intervalo I, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I Es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I Nota: Una función que es creciente o decreciente en I se llama monótona en I.

Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b): PRUEBA DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS: Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b): a)si f’(x) > 0 x en (a; b), entonces f es creciente en [a; b] b)si f’(x) < 0 x en (a; b), entonces f es decreciente en [a; b].

COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LAS FUNCIONES

Criterio de la Primera Derivada para Extremos Locales Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c entonces: Si f ’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un valor máximo local en c. Si f ’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un valor mínimo local en c. Si f ’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un valor extremo local en c.

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

COMENTARIOS Es importante notar que en los puntos de extremos locales la derivada puede ser cero, no existir o ser infinita.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA PUNTOS ESTACIONARIOS TEOREMA: Sea f una función derivable dos veces en (a-r,a+r) tal que a es un punto estacionario de f, f’(a)=0, entonces: Si f”(a)<0, en a hay un máximo local. Si f”(a)>0, en a hay un mínimo local. Si f”(a)=0 el criterio no decide.

EJEMPLO Determine los puntos de máximo y mínimo local de la función f cuya regla de correspondencia es :

NOTAS IMPORTANTES Es importante notar que este criterio sólo puede emplearse una vez que hemos confirmado que estamos en presencia de un punto estacionario. Note que cuando f ”(x) es nula en el punto estacionario, entonces puede ocurrir cualquier cosa.

CONCAVIDAD Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). i) La función f se dice que es cóncava hacia arriba (convexa) si la curva y = f(x) se encuentra por encima de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b). ii) La función f se dice cóncava hacia abajo (cóncava) si la curva y = f(x) se encuentra por debajo de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b).

INTERVALOS DE CONCAVIDAD Sea y = f(x) dos veces diferenciable en un intervalo I. A) Si y” > 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba. B) Si y” < 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.

Indicar los intervalos de concavidad B C D E F G H

EJEMPLOS Determine los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:

PUNTOS DE INFLEXION Sea f una función continua en un intervalo I, y x=a un punto de su interior de modo que f tiene derivada finita o infinita en dicho punto. El punto (a,f(a)) de la gráfica y=f(x) se llama punto de inflexión si al pasar por dicho punto el sentido de la concavidad cambia.

EJEMPLOS Determine los puntos de inflexión de la gráfica de las funciones definidas como:

GRÁFICAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES Graficar las siguientes funciones:

EJERCICIOS ADICIONALES