UNIDAD 4 Clase 6.3 Tema: Sistema de Ecuaciones Lineales Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 4 Clase 6.3 Tema: Sistema de Ecuaciones Lineales

Objetivos Definir el concepto de sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución. Definir el concepto de S.E.L. homogéneos. Resolver un S.E.L. mediante el método de eliminación. Presentar un S.E.L. en forma matricial. Resolver un S.E.L. con matrices, a través del método de Gauss (matriz escalonada) pag.: 152 - 163

Introducción: un problema de inversiones Un inversionista colocó $100 mil en dos proyectos, el primero de ellos le rindió una tasa de 5% durante el primer año y el segundo, una tasa de 10%. Si durante el primer año obtuvo una rentabilidad total del 8%, ¿cuánto invirtió en cada proyecto?

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Definición Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más variables (incógnitas). Una solución de un S.E.L. consta de valores de las variables para los cuales cada ecuación del sistema se verifica. Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Solución (C.S.) del S.E.L.

a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2 Sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2 ,..., xn : a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2+... + amn xn = bm . Los aij se denominan coeficientes, los bi se denominan terminos independientes Si los bi son nulos, el S.E.L. Se llama homogéneo.

Interpretación geométrica Cada ecuación representa una recta: - y x + 2y = 7 2x + y = 8 2x + y = 8 El punto de corte es la única solución. Sistema compatible - determinado . (3,2) x + 2y = 7 C.S. = {(3;2)} x

Interpretación geométrica y - x + 2y = 7 2x + 4y = 14 - 2x + 4y = 14 Rectas coincidentes: infinitas soluciones Sistema compatible - indeterminado x + 2y = 7 x C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7}

Interpretación geométrica y x + 2y = 7 2x + 4y = 8 - - Rectas paralelas: no admite solución. Sistema Incompatible x + 2y = 7 C.S. = Ø x 2x + 4y = 8

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMPATIBLE Indeterminado : infinitas soluciones. Determinado: solución única. INCOMPATIBLE CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO

Sistema de Ecuaciones Lineales con tres variables Una ecuación lineal general con 3 variables es una ecuación de la forma: ax + by + cz = d donde, a, b, c y d son constantes Los métodos para resolver un S.E.L. con dos variables pueden usarse también para resolver un S.E.L. con tres variables. Sin embargo, en esta clase nos concentraremos en los métodos matriciales.

Ejemplo resolver el sistema por eliminación algebraica

¿Qué sistema es más fácil de resolver?

Pivot de una fila ai,k≠0 pivot de la fila i Definición: Pivot de la fila i, es el 1er elemento distinto de cero que se encuentra en la fila i de la matriz. ai,k≠0 pivot de la fila i

Matriz escalonada por filas Definición: Una matriz se llama escalonada por filas si: Todas las componentes que se encuentran debajo del pivot de una fila son ceros. Todas las filas nulas se encuentran al final de la matriz. Matriz escalonada reducida por filas Definición: Una matriz se llama escalonada reducida por filas si, además de ser escalonada por filas se cumple que: Todos los pivots son iguales a 1. En cada columna donde el pivot es 1 los otros elementos son iguales a cero.

Ejemplos: Matriz escalonada por filas Matriz escalonada reducida por filas

Rango de una matriz Llamaremos rango de la matriz A, al número de filas no nulas de la matriz escalonada que se obtenga de la matriz A. Al escalonar se obtiene: * Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2 OBS: Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.

Matriz Escalonada Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A.

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS MATRICIAL A.X = B Para resolver el sistema, se requiere el uso de la matriz ampliada del sistema, la cual se define como [A:B] Luego, se sustituye A por la matriz escalonada equivalente, aplicando operaciones elementales.

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS Ejemplo: Resolver el sistema Solución: la matriz ampliada [A:B] ~ ~ ~ ~

RESOLUCIÓN DE UN S.E.L. POR EL MÉTODO DE GAUSS Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas

Análisis de un SEL mediante el rango 1.- El sistema es compatible solamente si rango [A:B] = rango [A] 2.- Si rango [A:B] = rango [A] = n (número de incógnitas), entonces el sistema tiene solución única. 3.- Si rango [A:B] = rango [A] = r < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. En este caso se eligen n-r variables libres (parámetros) 4.- El sistema es incompatible solamente si rango [A:B] ≠ rango [A]

Resuelva ud.: pag.: 261 Ejercicios: 21, 22, 23, 24, 29 y30