DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Tema 12 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EXPERIMENTO BINOMIAL TEMA 12.2 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

EXPERIMENTO DE BERNOUILLI Se conoce como experimento de Bernouilli un experimento aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles, complementarios entre sí. Los sucesos de un experimento de Bernouilli se denominan éxito (E) y fracaso (F). Se considera la variable aleatoria X que asocia al suceso éxito el valor 1, y al suceso fracaso el valor 0. P(X=1) = p ,, P(X=0) = 1 – p = q CÁLCULO DE PARÁMETROS MEDIA μ = 0.q + 1.p = p DESVIACIÓN TÍPICA σ = √ (02.q + 12.p – p2) = √ p.(1 – p) = √ p.q Como toda función de probabilidad discreta, p+q = 1, con p >0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Si un experimento de Bernouilli se repite n veces, tendremos: n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n ( q + p ) = C . q + C . q . p + C . q . p + ... + C . p n n n n Siendo p la probabilidad de éxito (E) y q la de fracaso (F). Como p+ q = 1 siempre, la suma de los (n + 1) términos es 1. Y cada uno de los sumandos es una probabilidad: P(X=0) = probabilidad de 0 éxitos P(X=1) = probabilidad de 1 éxitos P(X=2) = probabilidad de 2 éxitos ……………………………………… P(X=k) = probabilidad de k éxitos …………………………………….. P(X=n) = probabilidad de n éxitos Al tener el experimento de Bernouilli sólo dos valores de la variable, podemos aplicar el Binomio de Newton en su repetición. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO DE APLICACIÓN Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 3 personas. Hallar la probabilidad de que 0 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 1 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 2 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. Resolución La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es: P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. La probabilidad de que no lo tenga será: P(F) = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 = q Es un experimento de Bernouilli. Media μ = p = 0,70 Desviación típica σ = √ p.q = √ 0,70.0,30 = √ 0,21 = 0,4582 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Tomar una muestra de 3 personas y ver si tienen o no el carnet de conducir es repetir el experimento de Bernouilli tres veces. Estamos en la llamada Distribución Binomial y se denota así: B(n,p) Donde p es la probabilidad de éxito y n el número de veces que se repite el experimento de Bernouilli. En nuestro ejemplo: B(3, 0,7) Y ayudándonos por el Binomio de Newton: 3 0 3 1 2 2 2 3 3 ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,7 = 3 3 3 3 = (1.0,027) + (3.0,063) + (3.0,147) + (1.0,343) = = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 , que son respectivamente las probabilidades de que tengan carnet de conducir 0, 1, 2 y 3 personas. Se cumple que: (0,3 + 0,7)3 = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) 3 3 Como (0,3 + 0,7)3 = 13 = 1, se puede comprobar que la suma es 1. 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Experimento BINOMIAL Los experimentos que quedan determinados por dos sucesos contrarios reciben el nombre de experimentos dicotómicos o experimentos binomiales. Ejemplos de experimentos binomiales son: Número de hombres o mujeres en paro. Menores o mayores de edad en una fiesta. Trabajadores menores o mayores de edad en una fábrica. Profesores a favor o en contra de una medida educativa. Proporción de viviendas que poseen calefacción en una población. En general, cualquier distribución de probabilidad discreta se puede reducir a una experiencia dicotómica. La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre de distribución binomial. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo 1 En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. Es una experiencia dicotómica. P(E) = p =40/100 = 0,40 P(F) = q = 1 – 0,40 = 0,60 n= 30 veces que se repite el experimento. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(30, 0,30) Hay que hallar P(x=10) Notas importantes: El experimento se puede repetir un número de veces mayor que la cantidad de personas que hay. Podemos repetir el experimento 500, aunque hubiera sólo 3 personas en la reunión. Nos pueden pedir probabilidades tales como: P(“Que de las 30 veces que se ha repetido al menos en dos ocasiones halla sido hombre”) P(x ≥ 2) = P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=30) O también: P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [ (P(x=0) + P(x=1) ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo 2 Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de … a) Que no cace ninguna pieza. b) Que cace 7 piezas. c) Que cace al menos 3 piezas. Es una experiencia dicotómica, pues acierta el tiro o falla el tiro. P(E) = p =0,65 P(F) = q = 1 – 0,65 = 0,35 n= 20 veces que se repite la experiencia de disparar. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(20, 0,65) a) P(x=0) b) P(x=7) c) P(x≥3) =P(x=3)+P(x=4)+…+P(x=20) P(x≥3) = 1 - P(x<3) = 1 – [ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ] Nota: Los cálculos necesarios para completar el ejemplo se ven más adelante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo 3 Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que … a) Ningún tornillo resulte defectuoso. b) Halla 37 tornillos defectuosos. c) Halla menos de 3 tornillos defectuosos. Es una experiencia dicotómica, pues cada tornillo examinado está defectuoso o no. P(E) = p =32/1000 = 0,032 P(F) = q = 1 – 0,032 = 0,968 n= 50 veces que se repite la experiencia, al examinar los 50 tornillos de la caja. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(50, 0,032) a) P(x=0) b) P(x=37) c) P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) Nota: En este ejemplo, como en todos los demás, P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=n)=1 Por el Teorema de la Probabilidad Total, al ser los “n” sucesos independientes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo_4 Lanzamos un dado al aire. Hay seis sucesos posibles. Y cada suceso tiene su probabilidad (pi=1/6). Pero si lo que nos interesa es obtener un 6, reducimos los sucesos a dos: P(“Obtener un seis”) = 1/6 P(“No obtener un seis”) = 5/6 Y hemos convertido el experimento no dicotómico en dicotómico. P(E) = p=1/6 P(F) = q= 5/6 B(n, 1/6) Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera un 5 en lugar de un seis. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo_5 En una población conocemos: P(“Un habitante gane 0 € /mes”) = 0,25 P(“Un habitante gane 500 € /mes”) = 0,25 P(“Un habitante gane 1000 € /mes”) = 0,20 P(“Un habitante gane 1500 € /mes”) = 0,20 P(“Un habitante gane 2000 € /mes”) = 0,10 Si lo que nos interesa es que gane más de 1000 € /mes, reducimos la distribución de probabilidades discretas a una distribución binomial: P(“Un habitante gane más de 1000 € /mes”) = 0,20+0,10 = 0,30 P(“Un habitante no gane más de 1000 € /mes”) = 1 – 0,30 = 0,70 Y hemos convertido la experiencia no dicotómica en dicotómica. P(E) = p=0,30 P(F) = q= 0,70 B(n, 0,30) Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera que ganara hasta 500 €. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS