Tema: Ecuaciones de segundo grado con una variable. Curso: Matemática FC. Tema: Ecuaciones de segundo grado con una variable.

Ecuaciones de segundo grado con una variable Habilidades a desarrollar Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Resolver ecuaciones reducibles a segundo grado. Aplicar las ecuaciones de segundo grado en el contexto real y profesional.

Ecuaciones de segundo grado con una variable Definición. Una ecuación de segundo grado con una variable, es aquella que se puede expresar de la siguiente forma 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales con 𝑎≠0, y 𝑥 es la variable. Ejemplo A. Son ejemplos de ecuaciones cuadráticas 𝑎) 𝑥 2 +8𝑥−9=0 𝑏) 𝑥 2 −4𝑥=0 𝑐) 3 𝑥 2 − 45 =0 Ejemplo B. No son ejemplos de ecuaciones cuadráticas 𝑎) 3𝑥+1=0 𝑏) 𝑥 3 −8 𝑥 2 +8𝑥=1

Ecuaciones de segundo grado con una variable ¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas? Caso 1. Si de la ecuación 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 tenemos que 𝑐=0, entonces se obtendrá la ecuación 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0 En este caso, se deberá factorizar la variable 𝑥, y posteriormente cada factor lineal deberá igualarse a cero para luego resolver las nuevas ecuaciones obtenidas. Ejemplo 1. Resuelva Ejemplo 2. Resuelva 𝑥 2 −𝑥=0 3 𝑥 2 =−8𝑥 Resolución Resolución 𝑥 2 −𝑥=0 3 𝑥 2 =−8𝑥 3 𝑥 2 +8𝑥=0 (𝑥)(𝑥−1)=0 (𝑥)(3𝑥+8)=0 𝑥=0 ; 𝑥−1=0 𝑥=0 ; 3𝑥+8=0 𝑥=0 ; 𝑥=1 𝑥=0 ; 𝑥=− 8 3 Por lo tanto C.S.= 0;1 Por lo tanto C.S.= 0;− 8 3

Ecuaciones de segundo grado con una variable ¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas? Caso 2. Si de la ecuación 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 tenemos que 𝑏=0, entonces se obtendrá la ecuación 𝑎 𝑥 2 +𝑐=0 En este caso, se deberá factorizar (en caso sea posible) la expresión 𝑎 𝑥 2 +𝑐 utilizando el producto notable de la diferencia de cuadrados, para luego proceder a igualar los dos factores lineales a cero, y con ello obtener las soluciones buscadas. Nota: en caso no sea posible la diferencia de cuadrados, el 𝐶𝑆=𝜙. Ejemplo 1. Resuelva 4 𝑥 2 −25=0 Ejemplo 2. Resuelva 𝑥 2 +9=0 Resolución Resolución 4𝑥 2 −25=0 𝑥 2 +9=0 2𝑥 2 − 5 2 =0 No es factorizable en los reales. Por lo tanto C.S.=𝜙 2𝑥−5 2𝑥+5 =0 2𝑥−5=0 ; 2𝑥+5=0 𝑥= 5 2 ; 𝑥=− 5 2 Por lo tanto C.S.= − 5 2 ; 5 2

Ecuaciones de segundo grado con una variable ¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas? Caso 3. La expresión cuadrática está completa y ordenada, es decir, tenemos 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 En este caso, podemos intentar dar la solución utilizando la técnica del aspa simple (en caso posible), o usando la fórmula general 𝑥 1 = −𝑏− 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 , 𝑥 2 = −𝑏+ 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 donde debemos recordar que: Si ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐>0 entonces 𝐶𝑆={ 𝑥 1 ; 𝑥 2 } Si ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐=0 entonces 𝑥 1 = 𝑥 2 y con ello 𝐶𝑆={ 𝑥 1 } Si ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0 entonces 𝐶𝑆=𝜙. Ejemplo 1. Resuelva 2 𝑥 2 −2𝑥−1=0 Ejemplo 2. Resuelva 𝑥 2 −𝑥+3=0 Resolución Resolución Se reconoce que 𝑎=2, 𝑏=−2 y 𝑐=−1 Se reconoce que 𝑎=1, 𝑏=−1 y 𝑐=3 Con ello Con ello ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 = −2 2 −4(2)(−1) =12 >0 ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 = −1 2 −4(1)(3) =−11 <0 Luego Por tanto 𝐶.𝑆=𝜙 𝑥 1,2 = −𝑏± ∆ 2𝑎 = −(−2)± 12 2(2) = 2±2 3 4 = 1± 3 2 𝐶.𝑆= 1− 3 2 ; 1+ 3 2 Respuesta

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 1. [Diverso] Resuelva 𝑥 𝑥−2 − 2 𝑥−3 = 𝑥+20 𝑥 2 −5𝑥+6 Resolución 𝑥 𝑥−2 − 2 𝑥−3 = 𝑥+20 𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥 𝑥−2 − 2 𝑥−3 = 𝑥+20 𝑥−2 𝑥−3 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥 𝑥−3 𝑥−2 𝑥−3 − 2 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−2 = 𝑥+20 𝑥−2 𝑥−3 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥 𝑥−3 −2 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−3 = 𝑥+20 𝑥−2 𝑥−3 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥 2 −3𝑥−2𝑥+4=𝑥+20 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥 2 −6𝑥−16=0 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥−8 𝑥+2 =0 𝑥≠2, 𝑥≠3 𝑥=8; 𝑥=−2 𝑥≠2, 𝑥≠3 Respuesta: 𝐶𝑆= −2;8

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 2. [Diverso] Resuelva 𝑥−2 𝑥 =15 Resolución 𝑥−2 𝑥 =15 𝑥−15=2 𝑥 𝑥−15 2 = 2 𝑥 2 𝑥 2 −30𝑥+225=4𝑥 𝑥 2 −34𝑥+225=4𝑥 𝑥−9 𝑥−25 =0 𝑥−9=0 ;𝑥−25=0 𝑥=9 ;𝑥=25 Si 𝑥=9 entonces 9−2 9 =15 ES FALSA Si 𝑥=25 entonces 25−2 25 =15 ES VERDADERO Respuesta: 𝐶𝑆= 25

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 5. [Diverso] Resuelva 2𝑥+7 = 𝑥 +2 Resolución Si 𝑥=1 entonces 2𝑥+7 = 𝑥 +2 2𝑥+7 2 = 𝑥 +2 2 2 1 +7 = 1 +2 ES VERDADERO 2𝑥+7=𝑥+4 𝑥 +4 Si 𝑥=9 entonces 𝑥+3=4 𝑥 2 9 +7 = 9 +2 ES VERDADERO 𝑥+3 2 = 4 𝑥 2 𝑥 2 +6𝑥+9=16𝑥 𝑥 2 −10𝑥+9=0 𝑥−1 𝑥−9 =0 𝑥−1=0 ;𝑥−9=0 𝑥=1 ;𝑥=9 Respuesta: 𝐶𝑆= 1;9

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 1. [Aplicación] Una persona compró cierto número de revistas por 180 dólares; si cada revista hubiera costado 1 dólar menos, con el mismo dinero hubiera podido comprar 6 revistas más. Deduzca una ecuación de segundo grado que, al resolverla, me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántas revistas ha comprado? Resolución Sea 𝑞 el número de revistas compradas y sea 𝑝 el precio de cada revista. De la frase: “Una persona compró cierto número de revistas por 180 dólares”, se tiene que 𝑝𝑞=180 De la frase: “si cada revista hubiera costado 1 dólar menos, con el mismo dinero hubiera podido comprar 6 revistas más”, se tiene que 𝑝−1 𝑞+6 =180 𝑝𝑞+6𝑝−𝑞−6=180 pero 𝑝𝑞=180 180+6𝑝−𝑞−6=180 6𝑝−𝑞−6=0 𝑝= 𝑞+6 6 Reemplazando 𝑞=6𝑝−6 en 𝑝𝑞=180 tendremos 𝑞+6 6 𝑞 =180 → 𝑞 2 +6𝑞=1 080 → 𝑞 2 +6𝑞−1 080=0

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 2. [Aplicación] Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en $ 400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $ 20 mensuales se quedarán dos vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere obtener un total de $ 20 240 mensuales de rentas del edificio. Se le pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina. Resolución Sea 𝑥 la cantidad de veces que el precio de renta se incrementa en $ 20. Piden hallar el precio de renta, tal que 𝐼=20 240 Con ello, el ingreso de la compañía estará modelado por −40 𝑥 2 +200𝑥+20 000=20 240 −40 𝑥 2 +200𝑥−240=0 𝐼=𝑃𝑄 𝑥 2 −5𝑥+6=0 (𝑥−3)(𝑥−2)=0 𝐼= 400+20𝑥 50−2𝑥 𝑥=3 ;𝑥=2 𝐼=20 000−800𝑥+1 000𝑥−40 𝑥 2 * Si 𝑥=3, entonces el precio de renta será 𝑃=400+20 3 =$460 𝐼=−40 𝑥 2 +200𝑥+20 000 * Si 𝑥=2, entonces el precio de renta será 𝑃=400+20 2 =$440 Respuesta: el precio de renta debe de ser de $440 o de $460

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 3. A un precio de $𝑝 por unidad, el departamento de investigación de mercado en una compañía estima que el costo semanal 𝐶 y los ingresos 𝑅 (en millones de dólares) están dados por las ecuaciones 𝐶=28 − 2𝑝 Ecuación de costos 𝑅=9𝑝−𝑝2 Ecuación de ingresos Encuentre los precios que permita que la compañía esté en equilibrio. Encuentre las cantidades de equilibrio. Resolución a) Como se busca el precio de equilibrio, se debe de cumplir que 𝐶=𝑅 b) Recordemos que 𝑅=𝑝𝑞 𝑅=9𝑝− 𝑝 2 28 − 2𝑝=9𝑝− 𝑝 2 𝑅=𝑝 9−𝑝 𝑝 2 −11𝑝+28=0 → 𝑞=9−𝑝 𝑝−7 𝑝−4 =0 Conociendo los precios de equilibrio, es posible obtener las cantidades de equilibrio. 𝑝−7=0 ;𝑝−4=0 𝑝=7 ;𝑝=4 * Si 𝑝=7 entonces 𝑞=9−7=2 * Si 𝑝=4 entonces 𝑞=9−4=5 Respuesta: los precios que permiten que la compañía esté en equilibrio son $4 o $7. Respuesta: Las cantidades que permiten que la compañía esté en equilibrio son 2 o 5 unidades.

Ecuaciones de segundo grado con una variable Ejemplo 4. Las ecuaciones de costo para una fábrica son frecuentemente de naturaleza cuadrática. Si la ecuación de costos para fabricar calculadoras baratas es 𝐶= 𝑥 2 −10𝑥+31 donde 𝐶 es el costo de fabricación de 𝑥 unidades por semana (𝐶 y 𝑥 en miles), encuentre: a) La producción para un costo semanal de $15 mil. b) La producción para un costo semanal de $6 mil. Resolución a) Se debe determinar el valor de 𝑥 tal 𝐶=15 b) Se debe determinar el valor de 𝑥 tal 𝐶=6 𝑥 2 −10𝑥+31=15 𝑥 2 −10𝑥+31=6 𝑥 2 −10𝑥+16=0 𝑥 2 −10𝑥+25=0 𝑥−2 𝑥−8 =0 𝑥−5 𝑥−5 =0 𝑥−2=0 ;𝑥−8=0 𝑥−5=0 𝑥=2 ;𝑥=8 𝑥=5 Respuesta: la producción que permite obtener un costo semanal de $15 mil son de 2 mil unidades o de 8 mil unidades. Respuesta: la producción que permite obtener un costo semanal de $15 mil es de 5 mil unidades.