LOGARITMOS DÍA 08 * 1º BAD CT

Raíces y logaritmos La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = √ b Raíz n-sima. an = b n = log b Logaritmo a IMPORTANTE: En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el exponente, para resolverla hay que aplicar logaritmos. Ejemplo: 2x = 5

2.1 LOGARITMOS DEFINICIÓN Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. loga P = x ↔ ax = P Ejemplos: log3 9 = 2 ↔ 32 = 9 log5 125 = 3 ↔ 53 = 125 log10 10000 = 4 ↔ 104 = 10000

Más ejemplos: log3 81 = 4 ↔ 34 = 81 log5 0,2 = - 1 ↔ 5-1 = 1 / 5 = 0,2 log10 0,001 = - 3 ↔ 10 -3 = 1 / 1000 = 0,001 log36 6 = 1/2 ↔ 361/2 = 6 (Raíz cuadrada) log2 1/8 = - 3 ↔ 2 - 3 = 1 / 23 = 1 / 8 Log1/2 1/4 = 2 ↔ (1/2)2 = 1 / 22 = 1 / 4

Logaritmos decimales Sea la expresión: loga P = x ↔ ax = P Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. log P = x ↔ 10x = P Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log log 2 = 0,301030 log 20 = 1,301030 log 200 = 2,301030 log 2000 = 3,301030

Logaritmos neperianos Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: ln P = x ↔ ex = P Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614 . En la calculadora la tecla ln ln 2 = 0,693147 ln 20 = 2,995732 ln 200 = 5,298317 ln 2000 = 7,600902

2.1 PROPIEDADES 1.- Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si P <> Q  log P <> log Q a a Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 2.- El logaritmo de la base es 1 log a = 1  a1 = a a Log 2 = 1 , pues 21 = 2 2 3.- El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base log 1 = 0  a 0 = 1 , pues todo número elevado a 0 es la unidad.

4.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. loga x1 + loga x2 = loga (x1 x2) 5.- El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. loga x1 - loga x2 = loga (x1 / x2) 6.- El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. p loga x = p.loga x 7.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando , partido por el índice de la raíz. n loga √ x = (loga x)/n

Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 6 log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 b) log 48 Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = = 4 . 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,778151 = 1,982271 c) log 36 Log 36 = log 4.9 = log 2.2.3.3 = log 2+ log 2+ log 3+ log 3 = = 2 . 0,301030 + 2 . 0,477121 = 0,602060 + 0,954242 = 1,556302 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “los productos se convirtieron en sumas”.

Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 0,5 log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 b) log 250 Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 c) log 2/3 Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0,301030 - 0,477121 = - 0,176091 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “las divisiones se convirtieron en sumas”.

Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log 1024 log 1024 = log 210 = 10. log 2 = 10 . 0,301030 = 3,010301 b) log 81 Log 81 = log 34 = 4. 0,477121 = 1,908484 c) log 0,125 Log 0,125 = log 125 / 1000 = log 53 – log 1000 = = 3. log 5 – 3 = 3. log 10/2 – 3 = 3.(log 10 – log 2) – 3 = = 3.(1 – 0,301030) – 3 = 3 – 0,903090 – 3 = - 0,903090 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “las potencias se convirtieron en productos”.

Ejemplos Halla el valor de x en la expresión: 32000 . 23000 x = ---------------------- 52657 Tomamos logaritmos decimales: log x = log ( 32000 . 23000 / 52657 )= = log 32000 + log 23000 - log 52657 )= = 2000.log 3 + 3000. log 2 - 2657.log 5 = = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = = 954,242509 + 903,090000 – 1857,163301 = = 1857,332509 – 1857,163301 = = 0,179208 Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803

Ejemplos Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: a) log √2 log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 3 b) log √ 9 log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 32) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = = 0,318080 5 c) log √ 0,008 log √ 0,008 = (log 0,008) / 5 = (log 8 / 1000) / 5 = (log 8 – log 1000) / 5 = = (log 23 – 3 ) / 5 = (3. 0,301030 – 3) / 5 = - 0,419382 Por dicha propiedad de los logaritmos para los calculistas del siglo XVII, “los radicales se convirtieron en divisiones”.

8.- El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base, a, en base b. Sea y = loga x  ay = x Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de ambas, en la misma base, también son iguales: logb ay = logb x y. logb a = logb x Y despejando el valor de y tenemos: logb x logb x y = -----------  loga x = ---------- logb a logb a Nota: Lo más frecuente es que la nueva base b sea 10 ó e, es decir utilizar logaritmos decimales o neperianos para realizar el cambio de base.

EJEMPLO DE CAMBIO DE BASE ¿Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ? Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos comparar sus logaritmos. Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos, tampoco podemos calcular sus valores. Es obligado el cambio de base. log 7 10 = x  7x = 10  log 7x = log 10 log 5 7 = y  5y = 7  log 5y = log 7  x. log 7 = log 10  x = log 10 / log 7 = 1,183294  y. log 5 = log 7  y = log 7 / log 5 = 1,209061 Como y > x  log 5 7 > log 7 10