Teorema de Taylor Si una función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo (a, x), entonces el valor de la función en x está dado por: Cualquier función suave puede aproximarse mediante un polinomio

Diferencias finitas Existen varias formas de aproximar la derivada de una función usando una serie de Taylor truncada. Por ejemplo, si f(x) representa al valor de la función f en el punto x, entonces el valor de la función en el punto x + x, se puede expresar mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del punto x, como sigue

Si ahora se despeja de esta ecuación el término de la primera derivada, se obtiene en donde el símbolo O(x) es la forma como usualmente se representa a los términos de orden x1 o mayores, es decir, para el caso anterior Por consiguiente, si se desprecian estos términos, la derivada puede aproximarse así y representa la aproximación de orden uno (O(x)) de la derivada en un esquema de diferencias finitas

Debido a que esta aproximación se obtuvo avaluando la función c(x) un punto adelante de x, se dice que es una diferencia finita adelantada. De la misma manera, se puede obtener la aproximación de la derivada evaluando la función en (x - x) así y si ahora se despeja a la derivada y se desprecian los términos O(x), se obtiene la definición de la diferencia finita atrasada. Los dos esquemas anteriores tiene una aproximación de orden uno. Para mejorar la aproximación simplemente es necesario conservar más términos de la serie de Taylor.

También se puede definir la representación centrada de la derivada alrededor del punto x. Si se restan las dos ecuaciones de la expansión hacia adelante y hacia atrás de la serie de Talor : Despejando: Aproximación de orden 2  O(∆x2)

Representaciones de la derivada en diferencias finitas f(x + dx) Adelantada O(∆x) f(x) Centrada O(∆x2 ) = ½ (Adelantada + Atrasada) Atrasada O(∆x) f(x - dx) x - dx x x + dx

Primera derivada en diferencias finitas Discretizando el intevalo (a,x) como (x, xi+1) y h = xi+1 – xi. La serie de Taylos se puede expresar así: Diferencia finita Atrasada Centrada Adelantada

Segunda derivada en diferencias finitas Multiplicando por 2 la expansión de la seria de Taylor en xi+1 hacia delante (1) Y si ahora se expande la serie de Taylor hacia delante en xi+2 (2) Restando 1 de 2 y posteriormente despejando f’’(xi) Segunda derivada en diferencias finitas hacia delante

Versiones de la segunda derivada en diferencias finitas Segunda derivada en diferencias finitas hacia adelante Segunda derivada en diferencias finitas hacia atras Segunda derivada en diferencias finitas centrada Obtener los tres esquemas mostrados

Forma alternativa de la versión centrada Derivada de la derivada (Diferencia de la diferencias)