Métodos iterativos Álgebra superior

Método de la bisección Se trata de encontrar los ceros de f(x) = 0 Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes. y f(a) y = f(x) b x a f(b)

Método de la bisección De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p  [a,b] tal que f(p) = 0. El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p. El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.

Método de la bisección Primera iteración del algoritmo y f(a) y = f(x) Mitad del intervalo que contiene a p f(a) y = f(x) f(p1) b x a f(b) p p1=(a+b)/2

Método de la bisección Segunda iteración del algoritmo y y = f(x) f(a) Mitad del intervalo que contiene a p y = f(x) f(a) b x a =p1 f(b) f(p2) p p2=(a+b)/2

Ejemplo Resolver f (x) = x3 – 3x2 + x +1 = 0 en el intervalo [2, 3] f (2) = -1, f (3) = 4, cumple con el requisito inicial. f (2.5) = 0.375 > 0, siguiente intervalo [2, 2.5] f (2.25) = -0.546875 <0, siguiente intervalo [2.25, 2.5] f (2.375) = -0.150390625 <0, siguiente intervalo [2.375, 2.5] f (2.4375) = 0.095459 > 0, siguiente intervalo [2.375, 2.4375] f (2.40625) = -0.03159 <0, siguiente intervalo [2.40625, 2.4375] f (2.421875) = 0.030895

Método de la secante El método consiste en encontrar la siguiente aproximación tomando como punto de partida la secante que corta la curva de la función en dos puntos. La ecuación de la recta es f (xn) xn–1 xn+1 xn f (xn–1 ) Igualando a 0 y despejando se encuentra que

Ejemplo Resolver f (x) = x3 – 3x2 + x +1 = 0 en el intervalo [2, 3] Tomamos x0 = 2 y x1 = 3. x2 = 3 – ((3–2)/(33–3·32+3+1–23+3·22–3+1))(33–3·32+3+1) = 3 – 4/5 = 2.2 x3 = 2.31507 x8 = 2.414214 x4 = 2.4446 se llego a la solución x5 = 2.41083 f (2.414214) = –1.74x10–10 x6 = 2.414107 x7 = 2.414214

Método de Newton-Raphson La ecuación de la recta tangente es: y – f(xn) = f ’ (xn)(x – xn) Cuando y = 0, x = xn+1 o sea 0 – f(xn) = f ’ (xn)(xn+1– xn) o f(x) f (xn) xn+1 xn Pendiente = f ’ (xn)

Ejemplo Resolver f (x) = x3 – 3x2 + x +1 = 0 en el intervalo [2, 3] Tomamos x0 = 2. f ‘(x) = 3x2 – 6x +1 x1 = 3 – (23–3·22+2+1)/(3·22–6·2+1) = 3 x2 = 2.6 x7 = 2.414213562 x3 = 2.442253521 se llego a la solución x4 = 2.415010637 f (2.414213562) = 0 x5 = 2.414214235 x6 = 2.414213562