DESARROLLO Y CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Joao Pedro da Ponte (Universidad de Lisboa, Portugal) jpponte@fc.ul.pt http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/ http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte Pablo Flores (Universidad de Granada, España) pflores@ugr.es www.ugr.es/local/pflores Curso 2009 - 2010

DESARROLLO Y CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Dos partes: Parte 1: Algunas dimensiones para comprender el papel del profesor de Matemáticas - Pablo Flores (20 enero a 10 febrero y 24 febrero) - Taller de reflexión Parte 2: La Investigación sobre el profesor de Matemáticas - Joao Pedro da Ponte (16 a 19 de febrero) - Revisión investigaciones

DESARROLLO Y CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Sesiones Temas Profesores 20/1/2010 Introducción. De la práctica matemática a la investigación sobre formación de profesores de Matemáticas. Cuestiones generales en esta línea de investigación. PF 27/1/2010 1.2. Conocimiento profesional del profesor para enseñar Matemáticas. Conocimiento didáctico del contenido 3/2/2010 1.3. Profesor reflexivo. Reflexión sobre la práctica y para investigar 10/2/2010 1.4. Formación de profesores basada en la reflexión Reflexión sobre un problema profesional 16/2/2010 2.1. Conocimiento matemático del profesor JPP 17/2/2010 2.2. Conocimiento de enseñanza de las Matemáticas 18/2/2010 2.3. Prácticas profesionales 19/2/2010 2.4. Formación inicial de profesores de Matemáticas 2.5. Proyectos de intervención educativa / colaboración 24/2 o 3/3 3.Discusión de trabajos de los estudiantes 1ª Parte 2ª Parte

1.1. EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA PLANOS Y SISTEMAS IMPLICADOS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

- El profesor de Matemáticas ¿es matemático? EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: Relación con las matemáticas - El profesor de Matemáticas ¿es matemático? ¿Relación entre Didáctica de la Matemática y tarea del profesor? ¿Qué puede aportar?¿Qué pedirle? - ¿Mejora práctica docente quién investiga en Didáctica de la Matemática?

¿Por qué profesores no conocen investigaciones didácticas? EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: Relación con la Investigación didáctica ¿Por qué profesores no conocen investigaciones didácticas? ¿Por qué son poco prácticas las investigaciones didácticas? Tesis doctoral ¿una investigación práctica?

EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA Vamos a analizar: Sistemas relacionados con práctica docente del profesor de Matemáticas Planos implicados (sujetos, finalidades, funciones, criterios) Tipo de decisiones que se pueden adoptar desde la práctica Actitudes de reflexión del profesor

Sistemas implicados en la docencia: Un problema clásico en enseñanza: Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores?

CUESTIONES PROFESIONALES DEL PROFESOR ¿Es adecuado este problema para la enseñanza de la proporcionalidad en ESO? ¿Qué aporta? ¿Qué espera el profesor que haga el alumno en este problema? ¿Qué cuestiones se va a plantear el alumno cuando afronta este problema?. ¿Cuándo se puede plantear este problema, antes, durante el estudio, después, como aplicación, como aplicación del algoritmo de reparto?

Un problema para la enseñanza de la proporcionalidad Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores? EJERCICIO 1: * Resolverlo * Enunciar cuestiones que se van a plantear los alumnos al resolverlo

Formas en que resuelven los alumnos A: Resuelven por reparto proporcional B: Hacen preguntas sobre las condiciones: A. ¿Cada pan vale una moneda? B. ¿Tienen que repartir todo el dinero? C. ¿Todos reciben la misma cantidad de monedas, ya que reciben igual cantidad de pan?

RESOLUCIÓN POR PROPORCIONALIDAD Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores? Pastor A Pastor B Cazador: Tienen que repartir en la proporción que han dado. Mientras A ha dado 7 (tercios) B ha dado 1 (tercios) Luego se repartirán 7 monedas para A y 1 para B

Posiciones al resolver a) Como alumnos aplicados (tienen que resolver el problema empleando sólo estos datos, haciendo uso de una teoría matemática tratada en este curso) (SITUACIÓN DE ENSEÑANZA) b) Como consumidores (se plantean cuestiones sobre cuándo se sentirían satisfechos) (SITUACIÓN COTIDIANA)

Conflictos escolares por las posiciones El profesor puede pretender que el alumno: Adopte posición de enseñanza (responda lo que se espera de él -reparto proporcional-) Sea crítico con el resultado (vea si solución es aceptable) [exige adoptar posición cotidiana, pero dentro de situación de enseñanza] Esto puede generar conflictos: el alumno está acostumbrado a una posición, y le cuesta trabajo cambiarla (problema de la edad del capitán, p.e., concepto de contrato didáctico)

SITUACIÓN COTIDIANA PROBLEMA Sujetos pacientes: - Pastores y cazador Sujeto experto: Perito (Matemático / ecónomo, etc.)

SITUACIÓN COTIDIANA Sujetos pacientes = pastores y cazador Para resolver el problema hacen uso de conocimientos técnicos y cotidianos para dar una solución consensuada. Si no llegan a acuerdo piden apoyo de un Sujeto experto = perito externo, quien les sugiere formas de reparto basadas en sus conocimientos teóricos. (Estas soluciones sólo son aceptadas cuando las consensúan los sujetos pacientes)

SITUACIÓN DE ENSEÑANZA PROBLEMA Sujetos pacientes: - Alumnos Sujeto experto: Profesor

SITUACIÓN DE ENSEÑANZA Sujetos pacientes = los alumnos, (dirigido) obligados por el profesor a buscar una solución. Cuya validez la establece el profesor, Luego los alumnos tienen que “adivinar” cuál es la solución que el profesor considera adecuada. Sujeto experto = profesor (director)

RESUMEN Cierto paralelismo entre Situación Cotidiana y Situación de Enseñanza, Pero: Debemos distinguir Matemática que se enseña (S. Enseñanza) de la Matemática que se utiliza (S. Cotidiana) Matemática cotidiana es conocimiento práctico, derivada de una Matemática teórica El conocimiento se valida por consenso de los sujetos del sistema correspondiente

RELACIÓN ENTRE SITUACIONES Y ENTRE SISTEMAS ¿Cuál es el conocimiento del experto (teórico)? ¿De dónde surge? ¿Cómo llega el perito a ser experto? ¿Relación entre conocimiento teórico y conocimiento práctico? ¿Qué relación existe entre el sistema de enseñanza y el sistema cotidiano? ¿Cómo situar cada uno de ellos?

PRACTICO TEÓRICO PROBLEMA MATEMÁTICO PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICO Al SISTEMA COTIDIANO, el SISTEMA MATEMÁTICO PRACTICO PROBLEMA Sujeto paciente: Pastores y cazador Sujeto experto: PERITO CONOCIMIENTO EXPERTO PROBLEMA MATEMÁTICO TEÓRICO

CONOCIMIENTO DEL PROFESOR PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICO Al SISTEMA DE ENSEÑANZA, el SISTEMA DIDÁCTICO PRACTICO PROBLEMA Sujetos pacientes: Alumnos Sujeto experto: PROFESOR CONOCIMIENTO DEL PROFESOR TEÓRICO Investigador en Didáctica de la Matemática PROBLEMA de Enseñanza

PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICO PLANO MATEMÁTICO (P.teórico) subyace a Sistema cotidiano (P. Práctico): Hace abstracción de algunas condiciones y estudia forma de resolver categorías de problemas similares Su intención es obtener teorías sobre estas categorías de problemas. PLANO DIDÁCTICO (P. Teórico) subyace a Sistema de enseñanza (P. Práctico): Hace abstracción de condiciones particulares de cada aula, para estudiar forma de resolver problemas sobre aprendizaje y enseñanza Su intención es obtener teorías sobre los problemas de enseñanza y aprendizaje de conceptos

SISTEMA MATEMÁTICO PROBLEMA COTIDIANO TEORIZAR ABSTRAER PROBLEMA ENSEÑANZA SISTEMA DIDÁCTICO PLANO PRÁCTICO PLANO TEÓRICO

Concepto y propiedades de Proporcionalidad Peritos,   SISTEMA Y PLANO PROBLEMA SUJETOS FIN CRITERIOS VALIDEZ CUESTIONES INTERESADO EXPERTO Sistema Cotidiano P. Práctico Problema reparto Usuarios Perito Matemático Reparto adecuado Acuerdo entre usuario ¿Cómo repartir? Sistema Matemático Plano Teórico Concepto y propiedades de Proporcionalidad Peritos, Matemáticos aplicados Matemático aplicados y teóricos. Teoría general Coherencia interna ¿Qué es proporcionalidad.? ¿Propiedades? Sistema Enseñanza Plano Práctico Enseñanza de proporcionalidad (fines educativos) Alumnos Profesor Aprender a resolver problemas (según fines educativos) Logros de aprendizaje (relativos a fines educativos) ¿Cómo enseñar? ¿Cómo aprenden mis alumnos? ¿Materiales de ayuda? Sistema Didáctico Didáctica de la proporcionalidad (enseñanza y aprendizaje) profesores Didáctas de Matemática Teoría de enseñanza y aprendizaje de proporcionalidad Coherencia análisis. Complitud variables. ¿Cómo aprenden alumnos? ¿Principios de enseñanza y aprendizaje?  

  SISTEMA Y PLANO PROBLEMA SUJETOS FIN CRITERIOS VALIDEZ CUESTIONES INTERESADO EXPERTO Sistema Cotidiano P. Práctico Problema reparto Usuarios Perito Matemático Reparto adecuado Acuerdo entre usuario ¿Cómo repartir? Sistema Matemático Plano Teórico Concepto y propiedades de Proporcionalidad Peritos, Matemáticos aplicados Matemático aplicados y teóricos. Teoría general Coherencia interna ¿Qué es proporcionalidad.? ¿Propiedades? Sistema Enseñanza Plano Práctico Enseñanza de proporcionalidad (fines educativos) Alumnos Profesor Aprender a resolver problemas (según fines educativos) Logros de aprendizaje (relativos a fines educativos) ¿Cómo enseñar? ¿Cómo aprenden mis alumnos? ¿Materiales de ayuda? Sistema Didáctico Didáctica de la proporcionalidad (enseñanza y aprendizaje) profesores Didáctas de Matemática Teoría de enseñanza y aprendizaje de proporcionalidad Coherencia análisis. Complitud variables. ¿Cómo aprenden alumnos? ¿Principios de enseñanza y aprendizaje? Ejercicio 2 de identificación: Identifica qué papeles has desempeñado en tu vida profesional, situándolos en el cuadro  

CONOCIMIENTO PROFESOR 3. Sistema práctico de formación de profesores FORMADOR PROFESORES CONOCIMIENTO PROFESOR PROFESORES

Sistema didáctico práctico de formación de profesores Formador de profesores Conocimiento profesional Profesor Conocimiento Matemático escolar Alumno

SISTEMAS PRÁCTICOS RELACIONADOS CON EL PROFESOR Mundo físico-social usuario, matemático Matemáticas Alumnos Profesor Formador de profesores Conocimiento Profesional

Primera concepción de la práctica (Distinción por planos) Tiene intención práctica (inmediata, referida a unos sujetos concretos, etc.) No basta con el conocimiento teórico para resolver los problemas prácticos Tiene una lógica propia La validez de sus principios la establecen los propios prácticos

PLANOS DE REFLEXIÓN Reflexión docente PRÁCTICA . Objetivos inmediatos . Eficacia práctica . Jornadas específicas: - JAEM - Formación profesores

RESUMEN SISTEMA MATEMÁTICO PROBLEMA COTIDIANO TEORIZAR ABSTRAER PROBLEMA ENSEÑANZA SISTEMA DIDÁCTICO PLANO PRÁCTICO PLANO TEÓRICO

¿CÓMO ES ESTA REFLEXIÓN QUE ESTAMOS LLEVANDO A CABO? RESUMEN SISTEMA MATEMÁTICO ¿CÓMO ES ESTA REFLEXIÓN QUE ESTAMOS LLEVANDO A CABO? ¿QUÉ INTENCIONES TIENE? PROBLEMA COTIDIANO TEORIZAR ABSTRAER PROBLEMA ENSEÑANZA SISTEMA DIDÁCTICO PLANO PRÁCTICO PLANO TEÓRICO

El plano EPISTEMOLÓGICO Se ocupa de estudiar la naturaleza del conocimiento que se produce en los dos planos anteriores Matemático: ¿Qué es la matemática? ¿Cómo se establece su verdad? ¿Se descubren o se inventan? Didáctico: ¿Qué es la didáctica? ¿Qué verdad hay en la didáctica? ¿Cómo se llega a ella?

Reflexión PRÁCTICA y TEÓRICA Estudiar el plano que corresponde a cada una de las situaciones siguientes, identificando: Sujetos (paciente y experto) Problema Finalidades Criterios de validez EJERCICIO 3

Reflexión matemática epistemológica: Naturaleza de la matemática ¿Es dogmática la matemática?

Reflexión didáctica epistemológica: Naturaleza del conocimiento didáctico

Cuadro resumen sistemas y niveles de reflexión

  Perspectivas de reflexión: finalidades de la reflexión (para qué), objeto (qué), y sujetos principales (quiénes) y secundarios (a quiénes) Perspectivas de reflexión Objeto Fin Sujeto principal Sujeto secundario Práctica Problemas técnicos y de la enseñanza Resolver problemas Profesionales prácticos (matemáticos, profesores, formadores de profesores) Sujetos que presentan los problemas (alumnos, profesores en formación) Teórica-investigadora Reflexiones y teorías sobre la forma en que se han resuelto los problemas Establecer conocimiento Investigadores (matemáticos, didácticos de las matemáticas) Sujetos secundarios de los planos prácticos Epistemo- Lógica Naturaleza del conocimiento Criterios de validación Caracterizar el conocimiento Filósofos de la ciencia

EJERCICIO 4: Identificar los sistemas implicados y el nivel de reflexión en cada situación

DECISIONES QUE SE ADOPTAN EN CADA SISTEMA ¿Cómo se toman las decisiones en el sistema práctico docente? ¿Qué valores prevalecen? ¿Cuáles deben prevalecer? Por ejemplo: ¿Incluimos el problema de reparto en nuestra clase? Analizar criterios que se pueden adoptar para tomar la decisión

DECISIONES QUE SE ADOPTAN EN CADA SISTEMA Tecnológica: se basa en la aplicación de estrategia adecuada  Teórica: busca las variables que influyen, modelos Crítica: analiza consecuencias sociales de aplicación y de decisiones de su aplicación

DECISIONES QUE SE ADOPTAN EN EL SISTEMA DOCENTE Tecnológica: Se introduce el problema si con ello se consigue que el alumno aprenda proporcionalidad (como puede inducir a interpretaciones, no es adecuado, por ejemplo)  Teórica: El problema encierra un solo sistema de representación (los números), puede ser abierto, se presta a que los alumnos debatan, por lo que permite que saquen lo que saben Crítica: El problema encierra una reflexión sobre variables que pueden tenerse en cuenta en los repartos equitativos, se presta a analizar las condiciones de reparto, y la economía liberal.

DECISIONES EN SISTEMA DIDÁCTICO DOCENTE EJERCICIO 5 Buscar y describir situaciones prácticas en las que habéis tomado decisiones (reflexión) de estos tipos Formular cuestiones que se habrían podido tomar en cuenta adoptando los otros tipos de decisiones sobre el mismo problema

. La educación encierra una reflexión PRÁCTICA Por su componente ético SEGUNDA CONCEPCIÓN DE LA PRÁCTICA: Según la forma de intervención y los principios éticos (Contreras 1997) . La educación encierra una reflexión PRÁCTICA Por su componente ético Por la repercusión de los métodos empleados en ella Por la diversidad de fines perseguidos, según la variabilidad de los sujetos

SEGUNDA CONCEPCIÓN DE LA PRÁCTICA: Según la forma de intervención y los principios éticos (Contreras 1997) Tecnológica: se dirige a la producción, el interés fundamental es producir resultados satisfactorios, los métodos ocupan un lugar subordinado Práctica: se dirige a realizar los valores correctos en la propia acción, por lo que tienen que ser adecuados el proceso y el resultado

PRÓXIMA SESIÓN CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Lecturas: Bromme, R. (1994): “Beyond subject matter: A psychological topology of teachers’ professional knowledge”. En R. Biehler, et all. (Eds). Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht:Kluwer Academic Pb. (p. 73-88) Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching,