Tema: Ecuaciones de primer grado con una variable. Curso: Matemática FC. Tema: Ecuaciones de primer grado con una variable.

Ecuaciones de primer grado con una variable Habilidades a desarrollar Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Resolver ecuaciones reducibles a primer grado. Aplicar las ecuaciones de primer grado en el contexto real y profesional.

Ecuaciones de primer grado con una variable Definición [Ecuación Algebraica]. Una ecuación algebraica en la variable 𝑥 es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de 𝑥 son iguales. Algunas veces a la variable de la ecuación se le llama incógnita. El dominio de la variable (también llamado conjunto de valores admisibles) de una ecuación es el conjunto de números para los que se define las expresiones algebraicas en tal ecuación. Ejemplo En las siguientes ecuaciones algebraicas, 𝑥 es un número 𝑎) 𝑥−7=0 𝑏) 𝑥 2 +12=7𝑥 𝑐) 𝑥+5=5+𝑥 𝑑) 𝑥+1 =4 𝑒) 3 𝑥+4 = 2 3𝑥−2

Ecuaciones de primer grado con una variable Solución de una ecuación. Cuando la variable de una ecuación se sustituye por un número específico, el enunciado resultante puede ser cierto o falso. Si es cierto, el número constituye una solución (o raíz) de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto de soluciones (o conjunto solución) de la ecuación. Un número que es una solución se dice que satisface la ecuación. Ejemplo En la ecuación 𝑥−7=0 si 𝑥 se sustituye por 7, el enunciado resultante es verdadero, pero si 𝑥 se reemplaza por un número diferente de 7, el enunciado es falso. Por consiguiente, la única solución es 7 y el conjunto solución es 7 . Ejemplo Verifique que 𝑥=−3, 𝑥=3 y 𝑥=4 son soluciones de la ecuación 𝑥 2 +12=7𝑥

Ecuaciones de primer grado con una variable Ecuaciones polinomiales. Un tipo importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse en la forma 𝑃=0, donde 𝑃 es un polinomio en una variable. El grado del polinomio es el grado de la ecuación. Los siguientes son algunos ejemplos específicos de ecuaciones polinomiales en una variable: 7𝑥−21=0 (de primer grado) 2 𝑦 2 −3𝑦−5=0 (de segundo grado) 4 𝑧 3 −8 𝑧 2 −𝑧+2=0 (de tercer grado) 9 𝑤 4 −13 𝑤 2 +4=0 (de cuarto grado)

Ecuaciones de primer grado con una variable Definición [Ecuaciones equivalentes]. Son ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Ejemplo 4. Las siguientes ecuaciones son equivalentes 7𝑥−21=0 7𝑥=21 𝑥=3 Con frecuencia se puede resolver una ecuación reemplazándola por una sucesión de ecuaciones equivalentes, siendo cada una más simple que de alguna manera que la precedente, con lo que al final se obtiene una ecuación cuyo conjunto de soluciones es evidente. Para reemplazar una ecuación por otra equivalente, podemos aplicar las propiedades de los números reales. Ejemplo Para resolver la ecuación 5𝑥−3=12 primero se suma 3 en ambos lados. De esta manera obtenemos 5𝑥−3+3=12+3 → 5𝑥=15 Ahora se divide entre 5 ambos lados de la ecuación para obtener la ecuación equivalente 5𝑥 5 = 15 5 → 𝑥=3

Ecuaciones de primer grado con una variable Definición [Ecuación de primer grado]. Una ecuación de la forma 𝑎𝑥+𝑏=0 donde 𝑎 y 𝑏 sean números reales y 𝑎≠0, o cualquier ecuación equivalente a una de esta forma, se llama ecuación lineal. Teorema 1. La ecuación lineal 𝑎𝑥+𝑏=0 tiene exactamente una solución, − 𝑏 𝑎 . Ejemplo Son ejemplos de ecuaciones lineales 𝑎) 2𝑥−5=0 𝑏) 1 3 𝑥+7=0 Ejemplo No son ejemplos de ecuaciones lineales 𝑎) 𝑥 2 +5𝑥−6=0 𝑏) 𝑥 3 −8𝑥=0

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejercicios diversos A continuación trabajaremos con ejercicios que durante su proceso de resolución se obtienen ecuaciones lineales. Ejemplo 1. Resuelva 3 𝑥+2 −2 5−3𝑥 =21 Resolución 3 𝑥+2 −2 5−3𝑥 =21 3𝑥+6−10+6𝑥=21 9𝑥−4=21 9𝑥=21+4 9𝑥=25 𝑥= 25 9 Respuesta: 𝐶𝑆= 25 9

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejemplo 2. Resuelva 5𝑥+1 4 − 𝑥 6 =1+ 1−2𝑥 3 Resolución 5𝑥+1 4 − 𝑥 6 =1+ 1−2𝑥 3 MCM 4;6;3 =12 3 5𝑥+1 −2 𝑥 =12 1 +4 1−2𝑥 15𝑥+3−2𝑥=12+4−8𝑥 13𝑥+3=16−8𝑥 13𝑥+8𝑥=16−3 21𝑥=13 𝑥= 13 21 Respuesta: 𝐶𝑆= 13 21

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejemplo 3. Resuelva 5 𝑥−2 =2 𝑥−1 −3 7−𝑥 Resolución 5 𝑥−2 =2 𝑥−1 −3 7−𝑥 5𝑥−10=2𝑥−2−21+3𝑥 5𝑥−10=5𝑥−23 5𝑥−5𝑥=10−23 0=−13 es FALSO Respuesta: 𝐶𝑆=

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejemplo 4. Resuelva 𝑥+7=2 𝑥−1 − 𝑥−9 Resolución 𝑥+7=2 𝑥−1 − 𝑥−9 𝑥+7=2𝑥−2−𝑥+9 𝑥+7=𝑥+7 𝑥−𝑥=7−7 0=0 es VERDADERO Respuesta: 𝐶𝑆=ℝ

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejemplo 5. Resuelva 𝑎 𝑥−𝑏 =𝑏 𝑥−𝑎 −𝑎𝑏 Resolución 𝑎 𝑥−𝑏 =𝑏 𝑥−𝑎 −𝑎𝑏 𝑎𝑥−𝑎𝑏=𝑏𝑥−𝑎𝑏−𝑎𝑏 𝑎𝑥−𝑎𝑏=𝑏𝑥−2𝑎𝑏 𝑎𝑥−𝑏𝑥=𝑎𝑏−2𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑥=−𝑎𝑏 𝑥=− 𝑎𝑏 𝑎−𝑏 ,𝑎−𝑏≠0 Respuesta: 𝐶𝑆= − 𝑎𝑏 𝑎−𝑏

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejemplo 1. [Aplicación: ingreso, costo y utilidad] Una compañía fabrica un producto cuyo costo por unidad es 6 dólares y el costo fijo 80 000 dólares. Si el precio de venta de cada producto es 10 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de 60 000 dólares. Resolución Sea 𝑥 las unidades producidas y vendidas Precio de venta unitario en $ Costo unitario de producción en $ Costo fijo en $ 10 6 80 000 𝐼=10𝑥 𝐶=6𝑥+80 000 𝑈=𝐼−𝐶 𝑈=10𝑥−6𝑥−80 000 𝑈=4𝑥−80 000 Luego 𝑈=60 000 entonces 4𝑥−80 000=60 000→4𝑥=140 000 →𝑥=35 000 Respuesta: se tienen que producir y vender 35 000 unidades

Ecuaciones de primer grado con una variable Ejemplo 2. [Aplicación: Ingreso, costo y utilidad] La compañía Prescott fabrica sus productos con un costo de $4 por unidad y los vende a $10 por unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $12 000 al mes. Plantee, resuelva y responda: ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa? ¿Cuál es la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1 500 unidades por mes? ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 3 000 unidades por mes? ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual de $ 9 000? Resolución Sea 𝑥 las unidades producidas y vendidas Precio de venta unitario en $ Costo unitario de producción en $ Costo fijo en $ 10 4 12 000 𝐼=10𝑥 𝐶=4𝑥+12 000 𝑈=𝐼−𝐶 =10𝑥−4𝑥−12 000 =6𝑥−12 000 a) Para calcular el punto de equilibrio, se resuelve Utilidad igual a cero. 𝑈=0 →6𝑥−12 000=0 →6𝑥=12 000 →𝑥= 12 000 6 →𝑥=2 000. Rpta: Tiene que producir y vender 2 000 unidades. b) Si 𝑥=1 500 entonces 𝑈=6 1 500 −12 000 =9 000−12 000 =−3 000. Rpta: Esto significa que la empresa está que pierde $ 3 000. c) Si 𝑥=3 000 entonces 𝑈=6 3 000 −12 000 =18 000−12 000 =6 000. Rpta: Esto significa que la empresa está que gana $ 6 000. d) Si 𝑈=9 000 entonces 𝑈=9000 →6𝑥−12 000=9 000 →6𝑥=21 000 →𝑥= 21 000 6 →𝑥=3 500. Tiene que producir y vender 3 500 unidades.