SISTEMAS DE ECUACIONES Tema 6 * 3º ESO SISTEMAS DE ECUACIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS Tema 6.2 * 3º ESO RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TIPOS DE SISTEMAS Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución se llama COMPATIBLE. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución es INCOMPATIBLE. SISTEMAS COMPATIBLES Si un sistema compatible tiene una única solución el sistema es DETERMINADO. Si un sistema compatible tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. Ejemplos Sistema Incompatible x + y = 2 Sistema Compatible x – y = 0 x + y = 0 e Indeterminado: 3.x = 3.y Sistema Compatible x + y = 2 Sistema Compatible x – y = 0 y Determinado: x – y = 0 e Indeterminado: 3.x = 3.y @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Para resolver un sistema de ecuaciones lineales tenemos cinco métodos o manera de resolverlo: Por Tablas, por Gráficas, por Sustitución, por Igualación y por Reducción. TABLAS Este método, ya visto en cursos anteriores, es el menos empleado por la dificultad de encontrar la solución del sistema cuando los pares de valores no son enteros. GRÁFICOS Como son sistemas lineales, al despejar en las ecuaciones la “y” nos quedan de la forma y=m.x+n, que son funciones lineales. Cada ecuación se representa como una línea recta. Representamos las dos rectas y las coordenadas del punto de corte serán la solución del sistema. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO RESOLUCIÓN POR TABLAS Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 (1) y = 3.x – 2 (2) Queda como dos funciones lineales. Tablas de valores: Tabla (1) x - 2 - 1 0 1 2 y 2 5/3 4/3 1 2/3 Tabla (2) x - 2 - 1 0 1 2 y - 8 - 5 - 2 1 4 Vemos que la solución es x = 1 , y = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO RESOLUCIÓN GRÁFICA Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 = – x / 3 + 4 / 3 (1) y = 3.x – 2 (2) Queda como dos funciones lineales de la forma y = m.x + n. Tablas de valores: Damos tres o cuatro valores a x y calculamos los valores de y: Tabla (1) x - 2 0 2 y 2 4/3 2/3 Tabla (2) x 0 1 2 y - 2 1 4 Y llevamos los puntos a la gráfica para formar las dos rectas. Donde se corten ambas rectas será la solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Solución gráfica y = (4 – x) / 3 y = 3.x – 2 Solución Sistema = Pc(1, 1)  x=1, y=1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Interpretación gráfica Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, es compatible, las rectas son SECANTES. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones, es compatible e indeterminado, las rectas son COINCIDENTES. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución, es incompatible, las dos rectas son PARALELAS. Ejemplos Compatible: Indeterminado: Incompatible: x + y = 2 x – y = 0 x + y = 2 x – y = 0 x = y x + y = 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 Gráfico La suma de dos números es 12, y uno de ellos es doble que el otro.¿cuáles son dichos números?. Sea x un número. Sea y el otro número. Podemos poner las ecuaciones: x + y = 12  y = 12 – x y = 2.x Hacemos las tablas: x  0 81 12 y  12 4 0 x  0 2 4 y  0 4 8 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=4, y=8 0 4 8 12 16 - 4 0 4 8 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 2 Gráfico Ana tiene 12 años más que Pedro y hace 5 años tenía el triple de edad que Pedro. ¿Qué edad tiene cada uno?. Sea x la edad de Ana. Sea y la edad de Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y + 12 x – 5 = 3.(y – 5)  x = 3.y – 10 Hacemos las tablas: y  0 1 2 x  12 13 14 y  0 1 2 x  - 10 - 7 - 4 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=23, y=11 0 8 16 24 32 - 8 0 8 16 24 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 3 Gráfico Juan tiene 3 € menos que Pedro, pero si gasta 5 € tendrá la mitad que Pedro.¿Cuánto tiene cada uno?. Sea x lo que tiene Juan. Sea y lo que tiene Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y – 3  y = x + 3 x – 3 = ½.y  y = 2.x – 6 Hacemos las tablas: x  0 1 2 y  3 4 5 x  4 6 8 y  2 6 10 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=9, y=12 0 4 8 12 16 - 4 0 4 8 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 4 Gráfico Juan pagó 5 € por dos cuadernos y un bolígrafo. Ana pagó 12 € por cuatro cuadernos y dos bolígrafos. ¿Cuánto vale cada cuaderno y cada bolígrafo?. Sea x lo que vale un cuaderno. Sea y lo que vale un bolígrafo. Podemos poner las ecuaciones: 2.x + y = 5  y = – 2.x + 5 4.x + 2.y = 12  y = – 2.x + 6 Hacemos las tablas: x  0 1 2 y  5 3 1 x  0 2 4 y  6 2 – 2 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: NO hay. – 2 2 4 6 - 2 0 2 4 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO