Clase 154 (distancia entre dos puntos, pendiente de una recta) y x Ejercicios (distancia entre dos puntos, pendiente de una recta)
Distancia entre dos puntos y Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) dos puntos cualesquiera del plano. P1 y1 P2 y2 L.T. onceno grado, pág. 59 x2 x1 x d(P1;P2) = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
Pendiente de una recta Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) dos puntos de una recta r, no paralela al eje y. y y2 – y1 x2 – x1 m = P2 y2 r = tan (x2 x1 ) P1 y1 L.T. onceno grado, pág. 62 x1 x2 x
Punto medio de un segmento Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA;yA) , B(xB;yB) , entonces las coordenadas del punto M(xM;yM) de AB son: y xA+ xB 2 xM= yB yM yA yA+ yB 2 yM= xA xM xB x
Ejercicio Sean A(3;5), B(1;1) y C(4;2) los vértices de un triángulo. a) Demuestra que el ABC es un isorectángulo. b) Calcula el área del ABC . c) Determina el ángulo de inclinación de la hipotenusa con la dirección positiva del eje x. d) Determina las coordenadas del circuncentro.
A(3;5), B(1;1), C(4;2) y AB= (xA – xB)2 + (yA – yB)2 A 5 = (3 – 1)2 + (5 – 1)2 = 4 +16 = 20 2 C 1 = 2 5 u B x 1 3 4 BC= (1 – 4)2 + (1 – 2)2 = 9 + 1 = 10 u
A(3;5), B(1;1), C(4;2) AB= 2 5 u BC= 10 u AC= (xA – xC)2 + (yA – yC)2 = (3 – 4)2 + (5 – 2)2 = 1 + 9 = 10 u como BC= AC = 10 u entonces el triángulo ABC es isósceles.
AB= 2 5 u BC= 10 u AC= 10 u AB2= (2 5 )2 = 4·5 = 20 Luego, se cumple el recíproco del Teorema de Pitágoras por tanto el ABC es rectángulo. BC2 + AC2 = ( 10 )2 + ( 10 )2 = 10 + 10 = 20
AABC= AC·BC b) = 10 ·10 = ·10 = 5 cm2 mAB = yA – yB xA – xB 5 – 1 = 10 ·10 1 2 = ·10 1 2 = 5 cm2 mAB = yA – yB xA – xB 5 – 1 3 – 1 = c) = 2 como mAB = tan = 2 luego = 63,40
El circuncentro tiene coordenadas (2;3) Como en un triángulo rectángulo el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa, entonces: xA + xB 2 yA + yB ; M 3 + 1 2 5 + 1 ; M 4 2 6 ; M El circuncentro tiene coordenadas (2;3) M(2;3)
Para el estudio individual Sean los puntos E(1;2), F(5;4) y G(4;6) los vértices de un triángulo. Halla la longitud de la mediana relativa al lado EF, su pendiente y el ángulo de inclinación ( ) con respecto al eje x. Resp: 3,16 u ; m = 3 y = 71,60