Clase 203 1 2 3 Ejercicios variados

Los vértices de un triángulo son A(2; –3) ; B(5; –2) y C(4;1) a) Demuestra que es rectángulo. b) Calcula la longitud de la mediana relativa al mayor lado del triángulo. Ejercicio 1 c) Determina las coordenadas de un punto D para que ABCD sea un trapecio rectángulo, siendo x + 2y + 4 = 0 la ecuación de la recta AD.

A(2; –3) ; B(5; –2) ; C(4;1) x + 2y + 4 = 0 C D B A y 1 2 5 3 –4 4 x 4 x –1 D M –2 B –3 A

a) A(2; –3) ; B(5; –2) ; C(4;1) mBC= yB – yC xB – xC –2 – 1 5 – 4 = = –3 yA – yB mAB= xA – xB 2 – 5 –3 + 2 = 1 3 = mBC mAB 1 = – luego, como entonces BC  AB   ABC rectángulo en B.

M = (3 ; –1) b) A(2; –3) ; B(5; –2) ; C(4;1) yA+ yC xA+ xC –3 +1 2 + 4 Coordenadas de M punto medio de AC. yA+ yC xA+ xC 2 ; M 2 + 4 2 –3 +1 2 = ; = (3 ; –1) MB = d(M;B) = (xM – xB)2 + (yM – yB)2 = (3 – 5)2 + ( –1 + 2)2 = (– 2)2 + 12  2,24 u = 5

1 3 mAB= x + 2y + 4 = 0 c) C(4;1) como CD AB entonces mCD = mAB = 1 3 y – yC mCD = x – xC Ecuación de la recta CD y – 1 = x – 4 1 3 x – 4 = 3y – 3 x – 3y – 1 = 0

El punto D tiene coordenadas (–2; –1) x + 2y = – 4 x + 2y = – 4 1 2 x – 3y = 1 · (–1) Sustituyendo y = – 1 en – x + 3y = –1 1 5y = – 5 x + 2(–1) = – 4 y = – 1 x – 2 = – 4 x = – 2 El punto D tiene coordenadas (–2; –1)

Ejercicio 2 Sea MNPQ un paralelogramo con vértices M(5; 4); N(–3; 2); P(–5; – 6) y Q(x; y). a) Si la ecuación de la diagonal NQ es x + y + 1 = 0 ¿será MNPQ un rombo? b) Calcula las coordenadas de Q y represéntalo gráficamente.

a) x + y + 1 = 0 M(5;4); N(–3;2); P(–5; –6) mMP= yM – yP xM – xP 4 + 6 5 + 5 = 10 = = 1 mNQ = – A B = – 1 = – 1 Las pendientes de las diagonales son opuestas y recíprocas, luego MP  NQ, por tanto MNPQ es un rombo.

O M(5;4); N(–3;2); P(–5; –6) b) M Sea O punto medio de MP N O yM+yP –3 5 x –1 O yM+yP xM+xP 2 ; O Q –4 5 – 5 2 4 – 6 2 = ; –6 P = (0; –1)

O M(5;4); N(–3;2); P(–5; –6) O(0; –1) –1 –1 como MNPQ es un paralelogramo O es punto medio de NQ yN+ yQ xN+ xQ 2 ; O –3+ xQ 2 –3+ xQ 2 2 + yQ 2 2 + yQ 2 = ; = = –3+ xQ = 0 2 + yQ= – 2 xQ = 3 yQ= – 4 Q(3 ; – 4)

Para el estudio individual 1. Halla los ceros de f(x) si 0 x  , sabiendo que: 3 2 f(x) = sen 2x 2 sen(– x) – cos( – 2x) 2. Determinar las coordenadas (x; y) de intersección de las gráficas de las funciones: g(x) =  2x + 3 ; h(x) =  4x + 7 +1