Matemática Básica para Economistas Función Inversa
Introducción Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como: p = -3q + 8 ¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica?
Definición previa: función inyectiva o biunívoca Una función f , con dominio D es una función inyectiva o biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes: - Si a b en D, entonces f(a) f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D Es decir a un valor de la imagen le corresponde un único valor del dominio.
Ejemplo 1: ¿Es inyectiva la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1? Si es inyectiva
Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x2-1? No es inyectiva
¿En qué dominio será biunívoca? x -; 0 x[0; [
Observaciones: Una función f es inyectiva si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto. Una función creciente es inyectiva. Una función decreciente es ………… biunívoca
Función Inversa: La función inversa de f se denota por f-1 Definición: Si f-1 es inversa de f: (fof-1)(x) = x Dom (f-1) = Ran (f) Ran (f-1) = Dom (f)
Función Inversa: Para determinar la función inversa (f-1): Verificar que f es inyectiva. Despejar x en términos de y. Cambiar x por y.
Ejemplo: Hallar f-1(x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5] Dom f-1 = Ran f
Regla: la función inversa f-1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 f(x) y = x f(x) f-1(x) x
1. Es biunívoca en x>0 2. x = f -1(x) = , x > -1 Halle la inversa de f(x) = x2 - 1, x>0 y grafique f y f-1 en el mismo plano: 1. Es biunívoca en x>0 2. x = f -1(x) = , x > -1 3. Composición: f -1(x2 - 1) = , x>0 f ( ) = ( )2 - 1= x , x>-1
Graficando f y f -1 en un mismo plano: x f(x) f –1(x)
¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa? y x No sería una función
Ejercicios: Hallar y graficar: