FUNCIÓN LOGARíTMICA DÍA 31 * 1º BAD CS

LOGARÍTMO DE UN NÚMERO Sabemos que 102 = 100 en una potencia de base 10. Sabemos que 103 = 1000 en una potencia de base 10. Decimos que 2 es el logaritmo decimal de 100 Decimos que 3 es el logaritmo decimal de 1000 Y lo escribimos así: 102 = 100  2 = log 100 103 = 1000  3 = log 1000 El logaritmo decimal de un número, N, es el exponente al que hay que elevar la base, 10, para obtener dicho número. 10x = 500  x = log 500 = 2,6989 [Por Tablas o calculadora] Por extensión: El logaritmo de un número, N, es el exponente al que hay que elevar la base, a, para obtener dicho número. Ecuación logarítmica: Ecuación potencial: y = loga x x = ay

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama FUNCIÓN LOGARÍTMICA a la expresión: y = log a x  f (x) = log a x Donde “a” es la base del logaritmo y x la variable. Funciones logarítmicas son: f(x) = log x , donde “a”, por omisión, vale 10. f(x) = ln x , donde la base es el número e. g(x) = log a f(x) , donde tenemos una función compuesta. Si a=10  LOGARITMOS DECIMALES (Base = 10) Si a= e  LOGARITMOS NEPERIANOS (Base = e)

La función y=log2 x 8 y y = 2x 4 Sea y = 2x La inversa de dicha función es: Tenemos: y = 2x  x = log2 x  y = log2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x 2 y = log2 x

La función y = log1/2x 8 y Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½ . La inversa de dicha función es: Tenemos: y = (1/2)x  x = log1/2 x  y = log1/2 x Luego gráficamente será simétrica respecto a la recta y = x y=(1/2)x 4 2 y = log1/2 x

Gráfica de y = log x 1 Sea y = log x y Tabla de valores 0,5 x y -2 --- -1 --- 0 --- 0,2 -0,6990 0,4 -0,3980 0,8 -0,0970 1 0 2 0,3010 3 0,4773 y y = log x -1 0 1 2 3 x También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y=10x

Gráfica de y = ln x Sea y = ln x Tabla de valores x y -2 --- -1 --- -2 --- -1 --- 0 --- 0,2 -1,6094 0,4 -0,9163 0,8 -0,2231 1 0 2 0,6931 3 0,9861 y 1 0,5 y = ln x -1 0 1 2 3 x También la podíamos haber obtenido por simetría respecto a la recta y=x, sabiendo que es la inversa de y = ex

Comparativa y propiedades Sea y = log x e y = ln x En general, si y = loga x , a > 1 , se cumple: El domino es Dom f(x) = R+ El recorrido es Img f(x) = R Es siempre creciente en R+ Sea cual sea la base, “a” corta al eje de abscisas en el punto PC(1, 0) El eje de ordenadas es una ASÍNTOTA de la función, pues ésta tiende a converger con el eje. y y = ln x y = log x 0 1 2 3 x Aunque para valores grandes de x, el valor de y casi es cte. , éste sigue creciendo hasta el infinito, por ello la Img f(x) es R.

y=log x y y = 2 + log x y = log (x+2) 2 Sea y = log x La función y = 2 + log x será idéntica a y = log x aunque trasladada 2 unidades arriba. La función y = log (x+2) será idéntica a y = log x aunque trasladada 2 unidades a la izquierda. y = log x -2 -1 0 1

y=ln x y y = - ln x 2 Sea y = ln x La función y = - ln x será idéntica a y = ln x pero invertidos sus valores. La función y =-1– ln (x+2) será idéntica a y = ln x aunque trasladada 2 unidades a la izquierda, invertidos sus valores y trasladada 1 unidad abajo. y = ln x -2 -1 0 1 y = - ln (x+2) y = - 1- ln (x+2)