Pitágoras, Fermat y Wiles Una historia de 2500 años

Pitágoras Siglo VI AC

Y su famoso teorema… c a b a2 + b2 = c2

Demostrando el teorema de Pitágoras c a b

Demostrando el teorema de Pitágoras c b c a b a

Demostrando el teorema de Pitágoras b a c b c c b c a b a

Demostrando el teorema de Pitágoras b Calculando el área: a c (a+b)2 = c2+2ab b c Es decir: a2+b2+2ab = c2+2ab c b O sea: c a a2+b2 = c2 b a

Los números para Pitágoras 5/6 1/2 Pero 2/3 2 ?? 1 5 3 1 4

Las ternas Pitagóricas (3,4,5) 32 + 42 = 52 (2.3,2.4,2.5) (2.3)2 + (2.4)2 = (2.5)2 (3.3,3.4,3.5) (3.3)2 + (3.4)2 = (3.5)2 … (k.3,k.4,k.5) (k.3)2 + (k.4)2 = (k.5)2 Hay otras de las que son “en serio”? Sí: por ejemplo (5,12,13) 52 + 122 = 132

Hay muchas ternas de las que son “en serio”? Escribo todos los números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hay muchas ternas de las que son “en serio”? Escribí todos los números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Los elevo al cuadrado: 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 Lo que da: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361

Hay muchas ternas de las que son “en serio”? Escribí todos los números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Los elevé al cuadrado: 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 Lo que dió: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361 Le resto a cada cuadrado el cuadrado anterior: 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

Hay muchas ternas de las que son “en serio”? Escribí todos los números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Los elevé al cuadrado: 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 Lo que dió: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361 Le resté a cada cuadrado el cuadrado anterior, y dió: 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 …

Hay muchas ternas de las que son “en serio”? Escribí todos los números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Los elevé al cuadrado: 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361 Le resté a cada cuadrado el cuadrado anterior, y dió: 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 3 5 7 32 11 13 15 17 19 21 23 52 27 29 31 33 35 37

Hay infinitas ternas de las que son “en serio”… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 194 225 256 289 324 361 400 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 32 52 Es decir: 52 – 42 = 32 52 = 32 + 42 132 – 122 = 52 132 = 52 + 122 Así: (3,4,5) , (5,12,13) , (7,24,25) , (9,40,41) , (11,60,61) , … Estos no son los únicos, aún más: por ejemplo (8,15,17) (Euclides) y

Pierre de Fermat 1601-1665

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis ` exigitas non capere. Es imposible para un cubo escribirse como suma de dos cubos, o para una potencia cuarta escribirse como suma de dos potencias cuartas, o en general, para cualquier número igual a una potencia superior a dos escribirse como la suma de dos potencias iguales. Tengo una prueba maravillosa de este hecho pero no cabe en este margen estrecho. Pierre de Fermat, ~1937

El último teorema de Fermat No existen a , b , c tales que a3 + b3 = c3, o tales que a4 + b4 = c4. O más generalmente, para cualquier n>2, no existen a , b , c tales que an + bn = cn

Extendiendo los números Para resolver a2 + b2 = c2, se hace a2 = c2 – b2, O sea a2 = (c - b) (c + b) = (c – 1 . b) (c – ( -1 . b)) Para resolver a3 + b3 = c3, se hace a3 = c3 – b3 y ?? w = -1/2 + √ 3 /2 i y w2 = -1/2 - √ 3 /2 i Vale w3 = 1. Entonces a3 = c3 – b3 es lo mismo que a3 = (c - b) (c - w b) (c – w2 b) w -1 1 w2

Y se trabaja en el conjunto { x + y w + z w2 } con x , y , z números enteros Pero esos conjuntos pueden ser tramposos … Por ejemplo si trabajamos en el conjunto { x + y √3 i } con x , y números enteros, Se tiene 4 = 2 . 2 = ( 1 + √3 i ) ( 1- √3 i ) …

Andrew Wiles 1953 – 1993/1994

Para terminar recomiendo mucho… Muchas Gracias!!!