Derivadas parciales de 2do orden Optimización sin restricciones Unidad 5: Funciones de varias variables Derivadas parciales de 2do orden Optimización sin restricciones

es generalmente negativa? Cálculo (Adm) - clase 2.1 Desafío Si Q es la función de producción de Cobb-Douglas, ¿Qué interpretación económica tiene el signo de ? ¿Por qué para la mayoría de las fábricas que operan con una fuerza laboral adecuada, es generalmente negativa?

Derivadas parciales de 2° orden Si z = f (x; y), la derivada parcial de fx respecto de x es: La derivada parcial de fx respecto de y es:

La derivada parcial de fy respecto de x es: La derivada parcial de fy respecto de y es:

Ejemplo 1 Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función: f(x; y) = xy3 + 5xy2 + 2x + 1 g(x; y) = 9e2xy c.

Desafío Cuando estábamos estudiando las funciones de una variable, en un máximo o en un mínimo, la derivada de la función es cero. En el caso de las funciones de dos variables como ¿qué cree que ocurre en el máximo de la función?

Extremos Relativos Se dice que la función f(x; y) tiene un máximo relativo en el punto P(a; b) del dominio de f si f(a; b)  f(x; y) para todos los puntos (x; y) que estén suficientemente cercanos a P. De forma similar, f(x; y) tiene un mínimo relativo en Q(c; d) si f(c; d)  f(x; y) para todos los puntos (x; y) suficientemente próximos a Q.

La función: f(x; y) = x2 + y2 tiene un Mín. Rel. en P(0;0) La función: f(x; y) = 20 - x2 - y2 tiene un Máx Rel. en P(0;0)

Puntos críticos y extremos relativos Un punto (a;b) del dominio de f(x;y), para el que existen las derivadas parciales fx y fy, se denomina punto crítico de f si fx(a; b) = 0 y fy(a; b) = 0 Si las derivadas parciales de primer orden de f existen en todos los puntos de alguna región R del plano xy, entonces los extremos relativos de f en R pueden ocurrir sólo en los puntos críticos.

Ejemplo 2 Halle los puntos críticos de la función a. b.

Para que un punto crítico sea un extremo relativo, la naturaleza del extremo debe ser la misma en todas las direcciones. Un punto crítico que no es ni máximo relativo ni mínimo relativo se denomina punto de silla. Gráfica de la función: tiene un punto silla en el punto P(0; 0)

Criterio de las segundas derivadas parciales Supóngase que (a; b) es un punto crítico de la función f(x; y). Sea: D = fxx(a; b)fyy(a; b) - [fxy(a; b)]2 Si D > 0 y fxx(a; b) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (a; b). Si D > 0 y fxx(a; b) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (a; b). Si D < 0, entonces f tiene un punto de silla en (a; b). Si D = 0, el criterio no es concluyente y f puede tener un extremo relativo o un punto de silla en (a; b).

Sugerencia para hallar los Valores Extremos Relativos de una función Hallamos los puntos críticos de f: fx(x, y) = 0, fy(x, y) = 0. Hallamos el discriminante: D = fxxfyy - (fxy)2 Evaluamos en los puntos críticos fxx y D Aplicamos el criterio de las segundas derivadas parciales para cada punto critico.

Ejemplo 3 Encuentre los extremos relativos (en caso existan) de las siguientes funciones: a. b. c. d.

Para mas ejercicios, ver la guía del alumno. Texto Haeussler pág 776 (ejercicios del 1 al 29)