CÁLCULO DE LÍMITES DÍA 36 * 1º BAD CS

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------- xa xa D(x) / xm Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo]

Ejemplo 1 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] xoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3/x2)+ (1/x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 xoo 1 – (1/x) – (5/x3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

Ejemplo 2 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - x2 5 - oo2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3 / x2) + (1 / x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = xoo (5 / x3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito.

Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla.

Ejemplo 1 lím x – V(x2 - x) =[oo – oo] = xoo (x – V(x2 - x)). (x + V(x2 - x)) Lím ----------------------------------------------------- = xoo x + V(x2 - x) x2 - ( x2 - x ) x Lím ------------------------------ = Lím ------------------------- = xoo x + V(x2 - x) xoo x + V(x2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím ------------------------------ = ------------------------- = 1 / (1+1) = 1 / 2 xoo 1 + V(1 - 1/x) 1 + V( 1 – 0)

Ejemplo 2 lím V(x2 - 2x + 3) – x =[oo – oo] = xoo (V(x2 - 2x + 3) – x ). (V(x2 - 2x + 3) + x) Lím ----------------------------------------------------------- = xoo V(x2 - 2x + 3 ) + x x2 – 2.x + 3 - x2 - 2x + 3 Lím -------------------------------- = Lím ---------------------------- = xoo V(x2 - 2x + 3) + x xoo V(x2 - 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: - 2 + 3 / x - 2 + 0 Lím --------------------------------- = ----------------------- = - 2 / (1+1) = - 2 / 2 = -1 xoo V(1 - 2/x + 3/ x2) + 1 V( 1 – 0 + 0) + 1

Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L xa xa xa Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor.

Ejemplo 1 x x2 - 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . ----------- = --- . --- = [oo.0] x1 x - 1 x 0 1 Factorizamos los polinomios existentes que se puedan: x (x+1).(x-1) x+1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------------- = lím ------- = ---- = 2 x1 (x – 1).x x1 1 1

Ejemplo 2 1 x3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ---------- = --- . --- = - [oo.0] x -1 x +1 x- 1 x 0 -1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = x- 1 (x +1).x x- 1 x (-1)2 – (-1) + 1 1 + 1+ 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ------------- = ---- = - 3 - 1 -1 -1 Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo.