ECUACIONES CUADRÁTICAS FACTORIZACIÓN COMPLETAR CUADRADOS FÓRMULA GENERAL CONDICIONES DEL DISCRIMINANTE CONDICIONES DE LAS SOLUCIONES

Ecuación cuadrática: Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma: P(x): ax2 + bx + c = 0 , a,b,c ϵ R ^ a≠ 0 Se puede encontrar el valor de la variable X, por los siguientes métodos:

Factorización: 1.- X2 + bX + c = 0 Tenemos 2 trinomios cuadráticos que son factorizables: 1.- X2 + bX + c = 0 Sea Re =R y p(x) : X2 + 5X – 6 = 0 . Hallar Ap(x) X2 + 5X – 6 = 0 ( X + 6 ) ( X - 1 ) = 0 ( X + 6 = 0 ) ( X – 1 = 0 ) X = - 6 V x = 1

Comprobación: p ( -6) = (-6)2 + 5 ( -6) – 6 = 0 0 = 0 0 = 0 p ( 1 ) = ( 1)2 + 5 ( 1 ) - 6 = 0 0 = 0 Ap( x ) = { - 6 , 1 }

2.- ax2 + bx + c Sea Re = R y p(x) : 3x2 – 11x + 6 = 0, determine Ap(x). 3x2 – 11x + 6 = 0

seguimos Simplifico y me queda: ( x – 3 ) V ( 3x – 2) = 0

Compruebo: p ( 3) = 3 (3)2 – 11(3) + 6 = 0 0 = 0 0 = 0 p( 2/3) = 3 (2/3)2 - 11( 2/3) + 6 = 0 0 = 0 Ap(x) = { 2/3 , 3 }

Completar cuadrados: Este método consiste en llevar un trinomio cualquiera a la forma de trinomio cuadrado perfecto. Veamos dos casos. 1.- Trinomio de la forma: ax2 + bx + c = 0 si se presenta este caso, dividimos por el coeficiente ( a ) todos los términos de l trinomio y lo llevamos a la forma: (a/a)x2 + (b/a)x + (c/a) = 0

Esto nos lleva a la forma: x2 + Bx + C = 0 2.- Trinomio de la forma : x2 + bx + c = 0 3.- El coeficiente independiente ( c ) lo transponemos al otro miembro de la ecuación x2 + bx = - c 4.- Tomamos el coeficiente ( b ) lo dividimos para ( 2 ) y luego lo elevamos al cuadrado. ( b / 2 )2

Ese valor de (b/2)2 lo vamos a sumar 5.- Sumamos el valor de (b/2)2 a ambos lados de la ecuación para que esta no se altere. x2 + bx + ( b/2)2 = - c + ( b/2)2 6.- El primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto y resolvemos la ecuación.

Ejemplo: Resuelva completando cuadrados: x2 + 2x - 1 = 0 x2 + 2x = 1 ( 2 / 2 )2 = 1 x2 + 2x + 1 = 1 + 1 ( x + 1 )2 = 2 Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación

Y me queda como sigue: [( x + 1 )2 ]1/2 = ( 2 )1/2 Esto me queda como: x = - 1 + ( 2 ) ½ V x = - 1 – ( 2 ) ½ Ap(x) = { - 1 ± ( 2 )1/2 }

Fórmula general : El discriminante es :

Lo que me queda es:

Interpretación del discriminante 1.- Δ › 0 , -> 2 raíces reales y diferentes 2.- Δ = 0, -> 1 raíz real y duplicada 3.- Δ ‹ 0, -> No hay solución real

Resuelva por la fórmula general 3x2 – x – 2 = 0 Identifico los valores de a, b, c. a = 3 b = -1 c = - 2 Encuentro el discriminante ( Δ ) Δ = b2 – 4 ac Δ = ( -1)2 – 4 (3)(-2) = 25 Δ = 25

Aplico la fórmula general x1= 1 V x2= - 4/6 Ap(x) = { - 2/3 , 1 }

Condiciones del discriminante Dada la Ec. p(x): 2x2 – kx + 5 = 0. Determine el valor de ( k) para que el p(x) tenga una solución real única. p(x): 2x2 – kx + 5 = 0 Solución real única: Δ = b2 – 4ac = 0 Identifico: a = 2 b = -k c = 5 ( -k)2 – 4 (2)(5) = 0 k = √ 40 = √ 4 * 10 = ± √4 √ 10 = ±2 √ 10

Esto nos queda: k = √ 40 k = √ 4 * 10 k = ± √4 √ 10 k = ±2 √ 10 Ap(x) = { 2 √ 10 , -2 √ 10 }

Veamos otro problema: Sea Re=R, determine los valores de (p) para que la ecuación: 3x2 + (p+1)x + 24 = 0 ; x ϵ R Tenga ( 2 raíces tales que la una sea el doble de la otra).