@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 DÍA 21 * 1º BAD CT PRODUCTO ESCALAR

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v], si u y v no son nulos. El producto escalar será 0 si u o v son el vector nulo o si son perpendiculares EJEMPLO Hallar el producto escalar: u=(3,4) |v|=3 [u,v]=60º |u|=√(9+16)=5 u.v = 5.3.cos 60º u.v = 15.0’5 = 7’5 u v [u,v]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si proyectamos el vector v sobre el vector u se nos forma un triángulo rectángulo. Por trigonometría: |v’|=|v|.cos [u,v] Podemos decir que: El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero. u.v = |u|.|v’| De igual manera: u.v = |v|.|u’| u v [u,v] v’u v [u,v] u’

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 Ejemplo Dos vectores u y v son tales que: |u|=4, |v|=6, [u.v]=45º Hallar el producto escalar. Proyectamos el vector v sobre el vector u: |v’|=|v|.cos 45 = 6.√2/2 = 3√2 Producto escalar: u.v = |u|.|v’|=4. 3√2 = 12√2 Proyectamos el vector u sobre el vector v: |u’|=|u|.cos 45 = 4.√2/2 = 2√2 Producto escalar: u.v = |u’|.|v|=2√2.6 = 12√2 u v [u,v] v’u v [u,v] u’

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Sean los vectores libres, u y v, y sea B=(i,j) la base canónica del espacio V 2 : u = xi + yj v = x’i + y’j u.v = (xi + yj).(x’i + y’j) u.v = xi.x’i + xi. y’j + yj.x’i + yj.y’j u.v = x.x’.(i.i) + x.y’.(i.j) + y.x’.(j.i) + y.y’.(j.j) Como: i.i=|i|.|i|.cos 0º = = 1 i.j =|i|.|j|. cos 90º = =0 j.i =|i|.|j|. cos 90º = =0 j.j=|j|.|j|.cos 0º = = 1 Queda: u.v = x.x’ + y.y’ EXPRESIÓN ANALÍTICA u v [u,v] i x’ x y’ y j

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (6, 8) y u=(2, 3). Hallar el producto escalar. u.v = (2, 3).(6, 8) = = = 36 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (3, 11) y u=(1, 3). Hallar el producto escalar. u.v = (1, 3).(3, 11) = = = 36 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-2, 5) y u=(5, 2). Hallar el producto escalar. u.v = (5, 2).(-2,5) = 5.(-2) = = 0 EJEMPLO_4 Sea el vector v= (-3, 2) y u=(5, -3). Hallar el producto escalar. u.v = (5, -3).(-3, 2) = 5.(-3) + 2.(-3) = – 15 – 6 = – 21

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 EJEMPLO_5 Sean los vectores |v|= 6 y |u|= 3. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 45º. u.v = |u|.|v|. cos 45 = 6.3.0,707 = 18.0,707 = 15,756 EJEMPLO_6 Sean los vectores |v|= 5 y |u|= 7. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 60º. u.v = |u|.|v|. cos 60 = 5.7.0,5 = 35.0,5 = 17,5 EJEMPLO_7 Sean los vectores v=(6, -3), u = (-3,7) y |w| = 5. Hallar el producto escalar (u+v).w, si el ángulo que forma el vector w con la suma u+v es de 30º. (u+v).w = |u+v|.|w|. cos 30º = |(6-3, -3+7)|.5.0,866 = = |(3, 4)|.5.0,866 = √(9+16).5.0,866=√ ,866 = 25.0,866= 21,65

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 ÁNGULO QUE FORMAN El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v] Si u=(x, y) y v=(x’, y’)  También: u.v = x.x’ + y.y’ Luego tenemos la igualdad: |u|.|v|. cos[u,v] = x.x’ + y.y’ De donde despejamos el ángulo que forman: x.x’ + y.y’ cos[u,v] = |u|.|v| u v [u,v]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y u=(6,8). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ ] = √ 100 = 10 u.v = (6, 8).(3, 4) = = 50 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 50 / 5.10 = 50 / 50 = 1  [u,v] = 0º EJEMPLO_2 Sea el vector v= (-4, 3) y u=(6,-8). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ (- 4) ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ (- 8) 2 ] = √ 100 = 10 u.v = (6, - 8).(- 4, 3) = = - 48 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = - 48 / 5.10 = - 48 / 50 = - 0,96  [u,v] = 164º  [u,v] = 196º

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_3 Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, -2). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ ] = √ 29 = 5,3851 |u| =√ [ (-2) 2 ] = √ 29 = 5,3851 u.v = (5, -2).(2, 5) = 10 – 10 = 0 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 0 / 29 = 0  [u,v] = 90º y 270º EJEMPLO_4 Sea el vector v= (0, -5) y u=(3,-3). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ (- 5) 2 ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ (- 3) 2 ] = √ 18 = 4,2426 u.v = (3, - 3).(0, - 5) = = 15 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 15 / 5.4,2426 = 15 / 21,213 = 0,707  [u,v] = 45º y 315º