Matemáticas Acceso a CFGS Bloque II * Tema 067 POSICIONES RELATIVAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ Dos rectas serán PARALELAS si tienen la misma inclinación o pendiente: m = m’  A / A’ = B / B’ <> C / C’ Dos rectas serán COINCIDENTES si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen: m = m’ y n = n’  A / A’ = B / B’ = C / C’ Dos rectas serán SECANTES si NO tienen la misma pendiente. m <> m’  A / A’ <> B / B’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS CASO PARTICULAR DE RECTAS SECANTES Dos rectas serán PERPENDICULARES si cumplen la condición: m = - 1 / m’  A.A’ = - B. B’ s r r s s r @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(3, 4) y que es paralela a la recta r cuya ecuación continua es: x - 4 y + 5 r: -------- = -------- 3 2 De la ecuación dada obtenemos su vector director: v=(3,2) Si dos rectas son paralelas, el vector director es el mismo. Luego hay que hallar la ecuación de la recta que pasa por A’(3, 4) y v=(3, 2) y - 4 = 2/3.( x – 3 )  3.y - 12 = 2.x – 6  s: 2.x – 3.y + 6 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(-2, 5) y que es paralela a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es la misma al ser paralelas: m’ = m = 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 5 = 3.( x + 2 )  y - 5 = 3.x + 6  s: 3.x – y + 11 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(- 3, 2) y es paralela a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser paralelas: m’ = m = 5/4 Por la ecuación punto-pendiente: y - 2 = (5/4).( x + 3 )  4.y - 8 = 5.x + 15  s: 5.x – 4.y + 23 = 0 Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(1, 1) y que es perpendicular a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / 3 y - 1 = (- 1/3).( x - 1)  3.y - 3 = - x + 1  s: x + 3.y – 4 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto O(0, 0) y es perpendicular a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser perpendiculares: m’ = - 1 / m = - 1 / (5/4) = - 4 / 5 Por la ecuación punto-pendiente: y - 0 = (- 4 / 5).( x - 0 )  5.y = - 4.x  s: 4.x + 5.y = 0 Ejemplo 6 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’( - 2, 7) y que es perpendicular a la recta r: (x, y) = (3, - 4 ) + t.(- 7, 2) En la ecuación vectorial dada: v=(- 7, 2 )  m = b/a = 2/(-7) = - 7 / 2 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / (- 7 / 2) = 2 / 7 y - 7 = (3/7).( x + 2)  7.y - 49 = 3.x + 6  s: 3.x – 7.y + 55 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS HAZ DE RECTAS SECANTES Se llama haz de rectas secantes con vértice P(a,b) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P. y – b = m (x – a) Para cada valor de m tendremos una recta del haz. Si en lugar del vértice nos dan dos rectas cualesquiera del haz, entonces podemos resolver el sistema que forman para hallar el vértice, o también poner: Sea las rectas r: A.x + B.y + C = 0 y s: A’.x + B’.y + C’ = 0 El haz de rectas será: A.x + B.y + C + λ (A’.x + B’.y + C’) = 0 donde para cada valor λ tendremos una recta distinta del haz de rectas, incluidas las rectas r y s. P(a,b) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

HAZ DE RECTAS PARALELAS Se llama haz de rectas paralelas a todas las rectas afines a una dada. Sea la recta r: Ax + By + C = 0 El haz de rectas paralelas a r será: Ax + By + k = 0 Para cada valor de k tendremos una recta del haz. EJEMPLO 1 Hallar el haz de rectas de vértice el punto P(-1, 3). y – 3 = m (x + 1) EJEMPLO 2 Hallar el haz de rectas que forman r: 4x – y = 0 y s: 3x – 7y +1 = 0 4.x – y + λ (3.x – 7y + 1) = 0 EJEMPLO 3 Hallar el haz de rectas paralelas, donde una recta es r: x – 3y = 0 x – 3y + k = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS