Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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1 Matemáticas 2º Bachillerato C. T.
DISTANCIAS TEMA * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

2 DISTANCIA DE PUNTO A RECTA
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Si A es un punto de la recta y v su vector director y además P es el punto exterior, la distancia de P a r es: siendo el numerador el módulo del producto vectorial. EJEMPLO Hallar la distancia del punto P(1, 0, -2) a la recta r: (A, v), siendo el punto A(4, 2, -1) y el vector director de la recta v(0, 1, -1) i j k |AP x v| | -3i+3j+3k | √ √3 d(P, r) = = = = = ----- |v| √( ) √ √ √2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

3 DISTANCIA DE PUNTO A UN PLANO
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Sea el plano π: Ax+By+Cz+D=0 y P(p1, p2, p3) es el punto exterior, la distancia de P a π es: Ejemplo Hallar la distancia del punto P(2, -3 , 4) al plano π : x + 5y – 6z + 6 = 0 La distancia es: | (-3)+(-6).4 + 6| |2 – 15 – | √62 d(P, π) = = = = = √(12+52+(-6)2) √( ) √ = √62 / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

4 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
Si los dos planos no son paralelos, la distancia es nula. Si los planos son paralelos, se hallará un punto cualquiera P de uno de los planos y se hallará la distancia del punto P al otro plano. Ejemplo Hallar la distancia entre π : x + 5y – 6z + 6 = 0 y π’ : x + 5y – 6z – 2 = 0 Los planos son paralelos, pues tienen el mismo vector director N(1, 5, -6). Un punto cualquiera de π’ es: P(3, 1, 1) | (-6).1 + 6| |3 + 5 – 6 + 6| √62 d(P, π) = = = = = √(12+52+(-6)2) √( ) √ = 4.√62 / 31 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

5 DISTANCIA ENTRE RECTAS
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS. 1.- Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es nula. 2.- Si son paralelas o se cruzan puede ocurrir: 2.1.- Paralelas: Basta calcular un punto de una de ellas y la distancia entre él y la otra. 2.2.- Se cruzan: Sean A y B dos puntos de r y s respectivamente y u, v sus vectores directores, se tiene que: siendo el numerador el módulo del producto mixto y el denominador el módulo del producto vectorial. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

6 Matemáticas 2º Bachillerato C. T.
Gráfico EJEMPLO Hallar la distancia entre las rectas: r: (A, v) y s(B,u) Siendo A(1, 1, 1) , v(2, 0, 3) , B(-1, 0 , -1) y u(0, -1, 2) Las rectas no son coincidentes ni paralelas puesto que no tienen el mismo vector director. Pudieran ser secantes ( se cortan en un punto común), en cuyo caso la distancia que hallemos será nula. Suponemos pues que no son secantes, sino que se cruzan. Sabemos que: | | √29 d(r,s)= = = = i j k |-3i-4j-2k| √ r s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

7 DISTANCIA DE RECTA A PLANO
DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO. Es la distancia entre un punto de la recta y el plano (sólo en el caso de que ambos sean paralelos), pues en los demás casos la distancia es nula. Sea la recta r:(P,v) Siendo P(p1, p2, p3) un punto de la recta y v(v1,v2,v3) el vector director de r. Sea el plano π:(B,N) Siendo B(b1,b2,b3) un punto del plano y N(A, B, C) el vector director de π. Distancia de r a π = d(P, π) π d P r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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EJEMPLO Hallar la distancia de la recta r:(P,v) al plano π:(B,N) Siendo P(3, 2, 1) un punto de la recta y v(0, -2. 1) el vector director de r; siendo B(3, 5, -2) un punto del plano y N(12, -4, 3) el vector director de π. Distancia de r a π = d(P, π) Sea el plano π: 12x – 4y + 3z + D = 0  Por pertenecer B al plano: – (-2) + D = 0  D = – 36 = - 10 |12.3+(-4) – 10| – – d(P, π) = = = √ (122+(-4) 2+32) √ π d P r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

9 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
Si no son paralelos la distancia es nula. Si lo son, la distancia se calcula obteniendo un punto del primero y averiguando su distancia hasta el segundo. Sean los planos π:(P,N) y π’:(B,N) Siendo P(p1, p2, p3) un punto del plano, B(b1, b2, b3) un punto del otro plano y N(A, B, C) el vector director de π y de π’, igual al ser paralelos. Sea el plano π’:(Ax+By+Cz+D=0) Hallamos D, identificando b1 con x, b2 con y y b3 con z D= – A.b1 – B.b2 – C.b3 Y aplicamos la fórmula. π’ d π P @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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EJEMPLO Hallar la distancia entre los planos: π:(3x – 4y + 5z – 4 =0) y π’:(3x – 4y + 5z + 2 =0) Hallamos un punto P, cualquiera del plano π: P(1, 1, 1) es un punto que pertenece al plano. Y aplicamos la fórmula. |A,p1+B.p2+C.p3 + D| d(P, π’) = = √(A2+B2+C2) | 3.1 – | = = √( ) | 3 – | = = = √ √2 = 6. √2 / 10 = 0’6.√2 π’ d π P @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.