ABC equilátero de lado a = 6,0 cm Pirámide ABCS S ABC equilátero de lado a = 6,0 cm Altura h = CS AS = 10 cm C M punto medio de AB. A M B

S Clasifica el AMS según sus ángulos y halla su área. C A M B

AB  CM S CM = proy SM (ABC) SM  AB C AMS rectángulo en M. A M B

En la pirámide ABCDS, la base es un cuadrado de 36 dm2 de área y su altura SD=8,0 dm está sobre el vértice D. . Calcula el área del ABS en esta pirámide oblicua.

 AB=36 dm2 Solución: (ABCD cuadrado) A B D C S AD=6,0 dm =AB SD=8,0dm ADS rectángulo en D SD   AD es la proyección de SA sobre  . . 8 AD  AB (cuadrado) SA  AB 6  Teorema de las tres perpen- diculares en el punto A . 6 ABS rectángulo en A

AABS AABS 10  ADS rectángulo en D (SD altura) (SD perpendicular a todas las rectas del plano base que pasen por D) A B D C S SA=10 dm 6 ; 8 ;10 Trío de números pitagóricos 3 ; 4 ; 5 . = ABSA 2 8 AABS 10 = 6 10 2 6  AABS =30 dm2 6

Un cartabón con ángulos de 30o y 60o se coloca sobre una mesa apoyado sobre el lado menor que mide 10 cm. El ¨lado medio¨ queda inclinado formando con el plano de la mesa un ángulo de 45o . ¿ Cuánto mide la proyección del lado mayor sobre la mesa ?

.   y PC proy. de AC sobre  A P C ACCB 103 = 2 PC 103 = PC 2 ·2 2 PC 103 = PC 2 . 106 = 2 Recíp. del Teo. de las tres perpendiculares en C PCCB Teorema de Pitágoras 6 PC=5 cm Triángulo rectángulo en C A  20 . 103 P C B B P 10 10 PB=15,8 cm 45o  C  25(6+4) =5·3,16 = 6 5 ( )2 +10 2 ¿ ? = 25·6+25·4 =510 PB

=  – = Otra vía: 6 PC=5 cm AP = APC rectángulo isósceles. En el APB rectángulo en P. = 20 2 6 5 ( )2 = 52·42–52·6 ¿ ? – PB A  = 52( 42– 6 ) 20 16–6 =5 6 5 B P 10 56 PB=15,8 cm 45o C  .

ESTUDIO INDIVIDUAL . L .T. Matemática 12 parte 1 -Estudia el ejemplo 11 pág. 121 -Realiza los ejercicios 20 y 21 pág. 124 A B C D E F G H Ejercicio 21

Se conoce que CM=5,0 cm y AB=DC=12 cm. C ESTUDIO INDIVIDUAL El triángulo ABC es isósceles de base AB y por el vértice C se trazó DC perpendicular al plano  del triángulo, donde M es el punto medio de AB. D . 78cm2 Se conoce que CM=5,0 cm y AB=DC=12 cm. C A M Calcula el área del ABD. B

Prueba que el HBC es rectángulo. Ejercicio ABCDEFGH es un prisma recto de base rectangular ABCD. H G Prueba que el HBC es rectángulo. E F D C A B