«ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA» ARICA COLLEGE MATHEMATICS DEPARTMENT ARICA–CHILE 2015 «ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA» GRADE: TWELFTH TEACHER: MARIELA PALMA HERNÁNDEZ ALEJANDRO GARRIDO HIDALGO

O: centro de la circunferencia. Recordatorio: En la circunferencia podemos encontrar diversos elementos: O: centro de la circunferencia. Radio: Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto en ella, ejemplo: Segmento OB, OC, OA. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia, ejemplo: Segmento AB. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, ejemplo: Segmento AC. G C E O B D A F

Secante: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos, ejemplo: recta DG. Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un punto, ejemplo: Recta FE tangente en el punto D. Arco: Parte de la circunferencia comprendido entre dos puntos, ejemplo: arco AB. G C E O B D A F

En la circunferencia se pueden formar diversos tipos de ángulos, como por ejemplo:

ÁNGULO DEL CENTRO: Es aquel ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de ella. <BOC=Ángulo del centro Propiedad: la medida del ángulo del centro es igual a la del arco que lo subtiende: Ejemplo: Si el arco La medida de <BOC=? C 𝜶 B O

Ángulo Inscrito: Es aquel ángulo que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas. <BAC= Ángulo Inscrito en la circunferencia Propiedad: La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que lo subtiende: Ejemplo: Si , Entonces <BAC=? C B 𝜶 A

Ángulo semi-inscrito: Es aquel ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son una secante y una tangente. G <GDE ángulo semi-inscrito con vértice en D. Propiedad: la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que encierra su secante: Ejemplo: si Entonces ? E 𝜶 O D F

Ángulo Interior: La medida de un ángulo interior de una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que comprenden sus lados y prolongaciones: Ejemplo: si y Entonces ? A 𝜶 B D 𝜶 C

Ángulo Exterior: Es aquel ángulo que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y sus lados son secantes. A La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que comprenden sus lados: O D B Ejemplo: si y Entonces ? 𝜶 C F

Observaciones Generales: La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende (encierra) el mismo arco: Ejemplo: si Entonces ? B O 𝜶 A

Observaciones Generales: Dos o mas ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, son congruentes: 𝜶 B

Observaciones Generales: El ángulo semi-inscrito es congruente al ángulo inscrito que subtiende el mismo arco: 𝜶

Observaciones Generales: Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos: O A

Observaciones Generales: Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio, en el punto de tangencia: O C D B

EJERCICIOS PROPUESTOS B -O centro de la circunferencia - (ángulo semi-inscrito) - 𝜶 O A

EJERCICIOS PROPUESTOS - B C 𝜶 O 20° A D

-Recta BC tangente en A. - EJERCICIOS PROPUESTOS -Recta BC tangente en A. - C D O <𝜶=? A 𝜶 F B

-O centro - - (perpendicular) EJERCICIOS PROPUESTOS -O centro - - (perpendicular) B O D 𝜶 <𝜶=? A C

-AB diámetro - -<ABC=? EJERCICIOS PROPUESTOS -AB diámetro - -<ABC=? C B O A