Matemáticas 2º Bachillerato C.T. VOLÚMENES Tema 16.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. CÁLCULO DE VOLÚMENES Imaginemos una función cualquiera y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. Se habrá generado un cuerpo de revolución ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un “balón de rugby”, o miles más de todas las formas imaginables ). Se demuestra que el volumen del cuerpo engendrado por y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: b 2 Volumen =  . ∫ f(x) dx a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el cálculo de áreas, sin más que elevar al cuadrado previamente f(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_1 b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = 2 al girar alrededor del eje OX entre x = - 2 y x = 2 2 2 V = π . ∫ 22 dx = π. [ 4x ] = -2 -2 π. [8 - (- 8 )] = π. 16 = 16. π u3 Y y=2 -2 -1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_2 b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = √x al girar alrededor del eje OX entre x = 0 y x = 2 4 4 V = π . ∫ (√x) 2 dx = π. ∫ x dx = 0 0 x2 4 = π. [----] = π. 16/2 = 8.π u3 2 0 2 y= √x 0 1 2 3 4 X -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_3 b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = x al girar alrededor del eje OX entre x = - 2 y x = 2 3 2 2 x 2 V = π . ∫ x dx = π. [ ---- ] = -2 3 -2 π. [8 / 3 - (- 8 /3 )] = π. ( 16 / 3)= = 5’33.π unidades cúbicas y=x -2 -1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_4 b Volumen =  . ∫ f 2 (x) dx a Hallar el volumen que engendra la función y = x2 al girar alrededor del eje OX entre x = - 2 y x = 2 2 x5 2 V = π . ∫ (x2)2dx = π. [ ---- ] = -2 5 -2 π. [32 / 5 - (- 32 / 5 )] = π. ( 64 / 5)= = 12’8.π u3 4 y= x2 -2 -1 0 1 2 X -4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_5 * Propuesto Hallar el volumen que engendra la elipse de ecuación: x2 y2 ----- + ------ = 1 25 16 a) Al girar en torno al eje OX. b) Al girar en torno al eje OY. RESOLUCIÓN En ambos casos la figura que se origina al girar la elipse es un “balón de rugbi”. En el primer caso el volumen será en el intervalo de x: (-5, 5). En el segundo caso el volumen será en el intervalo de y: (-4, 4). En este segundo caso apuntar que: 4 V = π. ∫ f 2(y) dy -4 4 -5 0 5 X -4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.