INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA ECONÓMICO EMPRESARIAL DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL PROF. TRINIDAD CASASÚS – ENRIC CRESPO CURSO 2004-2005 FACULTAT D’ECONOMIA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

TEMA 3: Funciones elementales (cont) Funciones polinómicas, racionales e irracionales Función exponencial Función logarítmica Función parte entera Función valor absoluto Funciones trigonométricas Ecuaciones

TEMA 3: FUNCIONES ELEMENTALES (II) Funciones Polinomiales f: RR tal que f(x)=anxn+an-1xn-1+...+ a1x1+ ao siendo aiR, i= 0,1,...,n. Si an  0 se dice que la función es de grado “n” ; y a0 se dice que es el término independiente. Si f(x) = a0 se dice que es una función constante (grado cero) Su gráfica es una recta paralela al eje OX que pasa por el punto (0,a0) Si f(x) = a1 x + a0 se llama función lineal (grado uno). Su gráfica es una recta de pendiente a1 y que pasa por el punto (0,a0) Si f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (grado dos) se llama función cuadrática y su representación gráfica es siempre una parábola Se llama función potencial a una función de la forma f(x) = xr con r0 (0,a) (0,a)

Teorema Fundamental del Algebra: Toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes reales tiene n raices en el cuerpo de los números complejos. Todo polinomio de grado n con coeficientes reales se puede escribir como producto de polinomios de primer y segundo grado. Teorema de las Raíces: Dada una ecuación polinómica de grado n: anxn+an-1xn-1+...+ a1x1+ ao =0 cuyos coeficientes son todos enteros, las raíces enteras posibles de la ecuación deben ser divisores del término independiente ao Teorema del Resto: Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x), existen dos únicos polinomios c(x) y r(x) que verifican que P(x)= Q(x).c(x)+r(x) con el grado de r(x) menor que el grado de Q(x) Corolario.- El polinomio P(x) es divisible por x-a sii P(a)=0.

Ruffini: Recordarlo. Funciones Racionales: P(x)/Q(x), siendo P(x) y Q(x) dos polinomios. Esta función está definida para todo x tal que Q(x)0 Una función racional se llama propia cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Se llama impropia en caso contrario. Toda función racional impropia se puede escribir como la suma de una función racional propia más una función polinómica: Si C(x) es el cociente de la división de P(x) por Q(x) y R(x) es el resto de esta división, entonces donde R(x) ya es de grado inferior al de Q(x)

FUNCION EXPONENCIAL Función exponencial Se llama función exponencial a una función de la forma f(x) = ax con a>0 a1 El dominio de una función exponencial es todo R si x>0 f(x) = ax > 0 ; si x = 0 f(x) = a0 = 1 si x < 0 f(x) = ax =1/a-x > 0 La función exponencial es positiva, es decir, la gráfica de la función se dibuja siempre por encima del eje OX. Número e Se define el número e como y se verifica que (si consideramos una aproximación de diez cifras decimales, por ejemplo) 2,7182818284 < e < 2,7182818285 El número e es un número irracional (Charles Hermite) y=ax, a>1 y=ax, 0<a<1 1

logab = x si y solamente si ax = b LOGARITMOS Definición Dados dos números positivos a y b, definimos el logaritmo en base a de b, y lo denotamos como logab al número al que hay que elevar la base a para obtener b, es decir logab = x si y solamente si ax = b En el caso que la base sea el número e se dice que es un logaritmo natural o logaritmo neperiano, en honor del escocés John Napier (1550-1617) En el caso en que la base sea 10, se dice que son logaritmos decimales o vulgares. Dado logab = x, se dice que b es el antilogaritmo de x en base a, es decir, Antiloga x= b

Propiedades de los logaritmos 2.       logaa = 1 3.       logaax = x 4.       loga(b.c)= loga(b) + loga(c), para b,c>0 5.       loga(b/c)= loga(b) - loga(c) para b,c>0, c0 6.       loga(bn) = n. logab 7.       8.       Cambio de base:

FUNCION LOGARÍTMICA Función logarítmica Se llama función logarítmica a una función de la forma: y = f(x) = loga x a>0 a1  Es aquella función que a cada número mayor que cero le hace corresponder su logaritmo en la base a, El dominio de la función logarítmica es + = ]0 , +[ y su gráfica se dibuja siempre, por tanto, a la derecha del eje Y Resultado: Si y = f(x) = loga x entonces ay = x . La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial (la función exponencial es inyectiva a la vista de su gráfica). 1 1

Parte Entera (por defecto): Se define la función parte entera por defecto E(x):  tal que E(x)= mayor entero menor o igual que x Función Valor Absoluto: Se define la función Valor Absoluto |x|:  como la función tal que

Funciones trigonométricas Definición de radián Dada una circunferencia de radio r, definimos un radián como el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio. La longitud de un arco de circunferencia es igual al producto de la medida en radianes de su ángulo central por el radio. Dado que la longitud de la circunferencia completa sabemos que es 2r, se obtiene que el ángulo central correspondiente a una circunferencia completa es 2 radianes. La circunferencia en que se toma el radio igual a la unidad de medida se llama circunferencia goniométrica. r r r

Definición de las razones trigonométricas Dado un ángulo , existen seis razones trigonométricas a considerar. Estas razones pueden definirse de varias formas. Si fijamos un punto del plano en el primer cuadrante de coordenadas P(x,y) y unimos este punto con el origen, esto nos permite considerar el ángulo central =POA y el triángulo rectángulo POA del que podemos considerar que es uno de sus ángulos no recto. En estas circunstancias, podemos definir las siguientes razones trigonométricas: y sus tres inversas respecto al producto

Circunferencia Goniométrica (radio 1)  Seno de  Coseno de  Tangente de  Circunferencia Goniométrica (radio 1)

Ángulos Notables Ángulo /razón sen cos tag cotg 1 /6 ½ 3/2 3/3 3 1 No definido /6 ½ 3/2 3/3 3 /4 2/2 /3 /2  -1 No definido 3/2 2 1

Propiedades Algunas de las propiedades más importantes (y fáciles de deducir, aplicando las definiciones) de las razones trigonométricas de un ángulo son: 1. sen2 + cos2=1 1 + tg2 = sec2 1 + cotg2 = cosec2

Ángulos que suman /2 radianes sen (/2 - ) = cos  cosec (/2 - ) = sec  cos (/2 - ) = sen  sec (/2 - ) = - cosec  tg (/2 - ) = cotg  cotg (/2 - ) = tg  2. Razones de la suma de dos ángulos sen ( + ) = sen .cos  + cos .sen  cos ( + ) = cos .cos  - sen .sen   3. Razones de la diferencia de dos ángulos sen ( - ) = sen .cos  - cos .sen  cos ( - ) = cos .cos  + sen .sen 

Funciones trigonométricas Función seno: sen  :R[-1,1] Función coseno: cos  :R[-1,1] Función tangente: tag  :R-{(2k-1)/2, k} R 1 /2 -/2 -1 1 -/2 /2 -1 /2 -/2 3/2

Razones del ángulo doble sen (2) = 2sen .cos ; cos (2) = cos 2 - sen 2 ; Razones del ángulo mitad Suma y resta de senos y cosenos sin+sin=2sin((+)/2)cos((-)/2); sin-sin= 2sin((-)/2)cos((+)/2); cos+cos=2cos((+)/2)cos((-)/2); cos-cos=-2sin((+)/2)sin((+)/2);