M. en C. José Andrés Vázquez Flores MÉTODOS NUMÉRICOS Solución de una ecuación no lineal “Cálculo de raíces” M. en C. José Andrés Vázquez Flores

Búsqueda de raíces f(x) = 0 Consiste en obtener una raíz x de una ecuación de la forma f(x) = 0 para una función f dada. Al número x se le llama también cero de f.

Algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria Supongamos que f es una función continua definida en el intervalo [a,b] con f(a) y f(b) de signos diferentes. De acuerdo con el teorema de valor intermedio, existe un número p en (a,b) tal que f(p) = 0 . Este procedimiento se aplica en el caso en que f(a) y f(p) tengan signos diferentes y exista más de una raíz en el intervalo (a,b), por razones de simplicidad suponemos que la raíz de este intervalo es única. El método requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de [a,b] y en cada paso, localizar la mitad que contenga a p.

Algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria Para empezar, supongamos que a1=a y b1=b, y sea p1 el punto medio de [a,b] es decir; p1 = (1/2)(a1 + b1) Si f(p1) = 0, entonces p = p1; de no ser así, entonces f(p1) tiene el mismo signo que f(a1) o f(b1). Si f(a1) y f(p1) tienen el mismo signo, entonces p ϵ (p1,b1) y tomamos a2=p1 y b2=b1. Si f(a1) y f(p1) tienen signos opuestos, entonces p ϵ (a1,p1) y tomamos a2=a1 y b2=p1. Después volvemos a aplicar este proceso al intervalo [a2,b2]. Esto nos da el siguiente algoritmo.

Algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria Para encontrar una solución de f(x)=0 dada la función continua f en el intervalo [a,b], donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos: ENTRADA extremos a,b; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso. Paso 1 Tomar i = 1 Paso 2 Mientras que i ≤ No seguir Pasos 3-6 Paso 3 Tomar p = a + (b - a) / 2 (Calcular pi) Paso 4 Si f(p) = 0 ó (b - a) / 2 < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR Paso 5 Tomar i = i + 1 Paso 6 Si f(a)f(p) > 0 entonces tomar a = p (Calcular ai, bi) si no tomar b = p Paso 7 SALIDA (“El método fracaso después de No iteraciones, No =“, No) (Procedimiento completado sin éxito)

Algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria

Algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria f(x) = x3 + 4x2 – 10 [ä,b] = [1,2] │pn-1 – pn │ / │pn │ <10-4 n an bn pn f(pn) 1 1.0 2.0 1.5 2.375 2 1.25 -1.79687 3 1.375 0.16211 4 1.3125 -0.84839 5 1.34375 -0.35098 6 1.359375 -0.09641 7 1.3671875 0.03236 8 1.36328125 -0.03215 9 1.365234375 0.000072 10 1.364257813 -0.01605 11 1.364746094 -0.00799 12 1.364990235 -0.00396 13 1.365112305 -0.00194

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(x) x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(x) f(x1) x x1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz y obtener el valor de la función por ese punto. Trazar una recta tangente a la función por ese punto.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(x) f(x1) x x1 x2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(x) f(x1) f(x2) x x1 x2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(x) f(x1) f(x2) x x1 x2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Supóngase que la función f es continuamente diferenciable dos veces en el intervalo [a,b]; o sea f ε C2[a,b]. Sea ẋ ε [a,b] una aprox. A p ɟ f´ (ẋ)≠0 y | ẋ-p| es “pequeño”. Consideremos el Pol. De Taylor de primer grado para f(x) alrededor de ẋ. donde 𝜉(x) esta entre x y ẋ. Dado que f (p)=0 , con x=p tenemos:

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Derivando el método de Newton suponiendo que, como |p- ẋ| es tan pequeño el termino que contiene (p- ẋ)2 es mucho menor entonces podemos tomar: Despejando p de esta ecuación obtenemos: Esto prepara el método de Newton-Raphson, el cual comienza con una aproximación inicial p0 y genera la sucesión {pn} definida como para n ≥ 1

ALGORITMO DE NEWTON RAPHSON Para encontrar una solución de f(x)=0 dada una aproximación inicial p0. ENTRADA aproximación inicial p0 ; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso. Paso 1 Tomar i = 1 Paso 2 Mientras que i ≤ No seguir Pasos 3-6 Paso 3 Tomar p = p0 – f(p0) / f´(p0) (Calcular pi) Paso 4 Si │p – p0 │ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR Paso 5 Tomar i = i + 1 Paso 6 Tomar p0 = p (Redefinición de p0, q0, p1, q1) Paso 7 SALIDA (“El método fracaso después de No iteraciones, No =“, No) (Procedimiento completado sin éxito)

Método de la Secante f(x)=x23xcos(2x), entonces El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo. Por ejemplo: f(x)=x23xcos(2x), entonces f´(x)= 2x3xcos(2x)+x23x(cos(2x))ln3-2x23xsen(2x) La cual es extremadamente tediosa de evaluar

Método de la Secante El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen anterior se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente.

Método de la Secante Esta línea tiene la siguiente ecuación Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñas entre xn y xn-1).

Derivación del Método de la Secante Método de Newton (1) Aproximación de la derivada (2) Sustitución de la ecuación 2 en la ecuación 1 nos da el Método de la Secante

Algoritmo del Método de la Secante Para encontrar una solución de f(x)=0 dada la función continua f y unas aproximaciones iniciales p0, p1. ENTRADA aproximaciones iniciales p0, p1; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso. Paso 1 Tomar i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1) Paso 2 Mientras que i ≤ No seguir Pasos 3-6 Paso 3 Tomar p = p1 – q1(p1 - p0) / (q1 - q0) (Calcular pi) Paso 4 Si │p – p1 │ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR Paso 5 Tomar i = i + 1 Paso 6 Tomar p0 = p1 (Redefinición de p0, q0, p1, q1) q0 = q1 p1 = p q1 = f(p) Paso 7 SALIDA (“El método fracaso después de No iteraciones, No =“, No) (Procedimiento completado sin éxito)

Ejemplo

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) x

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) Xi+1 x xi f(xi+1)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)).

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) Xi+1 x xi f(xi+1)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)). Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) f(xi) xi+1 x xi xr f(xr) f(xi+1)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)) y se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) r x = i+1 f(xi) xi+1 x xi xr f(xr) f(xi+1)

MÉTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xi+1) en el que se garantice que la función tiene raíz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xi+1, f(xi+1)) Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de intersección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA f(x) ) x ( f )( i i+1 r - = f(xi) xi+1 x xi xr f(xr) f(xi+1)

ALGORITMO DE LA REGLA FALSA ENTRADA aproximaciones iniciales (p0,p1) = (a,b) ; tolerancia TOL; máximo numero de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso. Paso 1 Tomar i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1) Paso 2 Mientras que i ≤ No seguir Pasos 3-6 Paso 3 Tomar p = p1 – q1(p1 - p0) / (q1 - q0) (Calcular pi) Paso 4 Si │p – p1 │ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento completado satisfactoriamente) PARAR Paso 5 Tomar i = i + 1 , q = f(p) Paso 6 Si q * q1 < 0 entonces Tomar p0 = p (Redefinición de p0, q0, p1, q1) q0 = q Si no p1 = p q1 = q Paso 7 SALIDA (“El método fracaso después de No iteraciones, No =“, No) (Procedimiento completado sin éxito)