Potencias de Exponente Natural

Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. EXPONENTE a·a·a·a·a = a5 BASE Ejemplo: La potencia de base 3 y exponente 5 es: EXPONENTE 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 BASE

Cálculo de potencias con la calculadora Para calcular potencias con la calculadora utilizamos la tecla xy o x^y Por ejemplo, para calcular (1,4)3 tecleamos: 1 , 4 x^y 3 = y obtenemos como resultado en pantalla 2,744.

an · am = an + m Propiedades de las potencias de exponente natural Producto de potencias de la misma base Si multiplicamos dos potencias de la misma base, el resultado es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes. an · am = an + m

Multiplicación de potencias de igual base Se conserva la base y se suman los exponentes.

Producto de potencias de la misma base Los factores del producto 42 · 45 · 43 son potencias que tienen la misma base. Es un producto de potencias de la misma base Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Directamente, multiplicando: = 16 · 1024 · 64 = 1048576 42 · 45 · 43 Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después: 42 · 45 · 43 = (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) = 42+5+3 = 410 2, 5 y 3 factores Luego, 42 · 45 · 43 = 42+5+3

También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, Desarrollo U3 El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores. –2 = (–2)1 o 61 = 6 Ejemplos: (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128, utilizando la propiedad vista. También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias. 2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3) = (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6 Igualmente: (b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7

Cociente de potencias de la misma base 65 : 63 El dividendo y el divisor de Es un cociente de potencias de la misma base son potencias de la misma base Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo: Desarrollando las potencias y simplificando: Modo 2º 65 : 63 65 : 63 = 65–3

Cociente de potencias de igual base Se conserva la base y se restan los exponentes.

Cociente de potencias de la misma base Si dividimos dos potencias de la misma base, el resultado es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia de los exponentes. an : am = = an – m con n > m

El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Ejercicio: Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24 (b) (–5)6 : (–5)3 (a) 27 : 24 = 27–4 = 23 (b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3 Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50 Se admite que: 50 = 1; (–7)0 = 1 El cociente 54 : 54 = 1

Se conserva el exponente y se multiplican las bases. Multiplicación de potencias de igual exponente Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

Se conserva el exponente y se dividen las bases. División de potencias de igual exponente Se conserva el exponente y se dividen las bases.

Potencia de una potencia La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia. Se llama potencia de una potencia Puede hacerse de dos modos: Directamente, haciendo la potencia de la potencia: Modo 1º (52)4 = (25)4 = 390625 Escribiendo como producto de potencias y agrupar después: Modo 2º (52)4 = 52 · 4 (52)4 = 52 ·52 · 52 · 52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58

La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes. Ejercicios [(–2)4]2 = (–2)4·2 = (–2)8 = 64 1. Calcula: [(–2)4]2 340 es un número enorme: tiene 20 cifras. 2. Calcula: [(35)4]2 [(35)4]2 = 35·4·2 = 340 3. Calcula: {[(–1)3]9}7 {[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1

Se conserva el exponente y se multiplican las bases. Potencia de una Potencia Se conserva el exponente y se multiplican las bases.