Osciladores genéticos que funcionan por retardo Aplicación del modelo de Lewis para el estudio de las oscilaciones en niveles de proteína cuando un solo gen se autorregula negativamente. Javier Ávila del Puerto Guillermo García López

Introducción Biofísica Cuando un proceso con una cierta frecuencia rítmica no está controlado por un sistema nervioso, entonces se regula por el mecanismo de oscilación genética El proceso clave para que se produzcan oscilaciones son los tiempos de retardo en la transcripción y la traducción ¿Por qué se producen estos tiempos de retardo?

Tm: tiempo de retardo en la transcripción Acople de la polimerasa al DNA y duración de la transcripción Salida del mRNA del núcleo (atraviesa membrana nuclear)

Tp: tiempo de retardo en la traducción Acople del ribosoma al mRNA Tp: tiempo de retardo en la traducción Duración de la transcripción y plegamiento y maduración de la proteína

Entrada de la proteína al núcleo Unión de monómeros para que la proteína sea funcional y para que pueda acoplarse al gen que la codifica para autoinhibirse

Modelo de Lewis Modelo más simple: la proteína se acopla directamente al ADN de su propio gen para inhibir su transcripción. Este sistema de ecs. difs. no da lugar a trayectorias cerradas en el plano de fases, es decir a soluciones periódicas en el tiempo. Aplicando el criterio de Bendixson, usado en la teoría de ecs. diferenciales: si el signo de no cambia no hay soluciones periódicas!!

Modelo de Lewis Función de Hill Hemos de tener en cuenta los retardos producidos en la síntesis de mRNA y de proteína. Función de Hill En organismos biológicos esta función da la tasa de producción de una proteína en función del factor de activación, que estimula la producción de la misma desde un valor cero hasta un máximo de saturación: Ratio de producción de mRNA, que disminuye si aumenta p.

Por tanto las ecuaciones quedan como: a tasa de traducción b y c tasas de degradación de proteína y mRNA respectivamente. K parámetro de transcripción de DNA a mRNA. p(t),m(t) concentraciones de proteína y Como vemos, tenemos un sistema de ecuaciones no lineales acopladas, por lo que no existen métodos convencionales de resolución. De hecho, no se pueden resolver de forma analítica pero sí mediante métodos numéricos. Es de esperar que no haya “simetría” en las oscilaciones, en el sentido que la función de Hill en la segunda ecuación hace que las oscilaciones en t no sean iguales para la proteína que para el mRNA.

m cte: mc mc= -8.5981 pc= -168.2237 p cte: pc Sería interesante encontrar en nuestro sistema soluciones estacionarias, es decir valores de las concentraciones p(t) y m(t) a los que tendiera nuestro sistema sin variar una vez que las alcanzase. Esto “linealizaría” nuestro problema: m cte: mc mc= -8.5981 pc= -168.2237 p cte: pc Los valores obtenidos no tienen mucho sentido físico, y se hace difícil explorar el plano de fases (m(t),p(t)) en las cercanías de esa par de valores. Veremos más adelante este asunto en un ejemplo gráfico.

Proceso de oscilación típico p(t),m(t) (nº Degradación Proteína Traducción Inhibición de la transcripción Transcripción Degradación mRNA

Interpretación de las oscilaciones e influencia de los parámetros Parámetro a: tasa de traducción de proteína Aumentar este parámetro supone que las concentraciones máximas (picos) sean mayores para la proteína (a mayor velocidad de traducción mayor concentración de proteína

Efecto de a/2 y 2·a a=4.5 a/2 2·a La concentración de proteína cambia, la de mRNA no. [proteína] ~ a.

Parámetros b y c Tasas de degradación (proteína y mRNA respectivamente). Un aumento de estos parámetros, provoca que las oscilaciones a lo largo del tiempo sean más parecidas entre sí. La degradación afectará directamente al crecimiento de la concentración en función del tiempo. Al disminuir el valor vemos cómo el crecimiento parece más lineal (mayor tasa de crecimiento de la concentración en función del tiempo).

Efecto de (b, c) /2 y (b, c) ·2 b,c=0.23 b,c/2 2·b,c Ambas concentraciones tienen un máximo en la primera oscilación debido a la poca degradación. Después debido también a ésta, la proteína se autoinhibe más, y bajan ligeramente en comparación con los parámetros estándar Ambas concentraciones reducen sus máximos a la mitad, debido a la rápida degradación. Además los picos de las oscilaciones se suavizan.

Parámetro k Representa la transcripción de DNA a mRNA. Aumentar el parámetro provoca que la concentración de proteína aumente. No modifica el valor mínimo de concentración de proteína, por lo que en la representación gráfica vemos que las oscilaciones son iguales pero desplazadas en el eje y.

Efecto de k/3 y k·3 K=33 K=11 [mRNA] ~ k-1 [proteína] ~ k

Ejemplos representativos Caso 2: a, b, c=1; K=10; p0=5; Tm=10; Tp=1. Tasas de traducción y degradación todas iguales: amortiguación.

Ejemplos representativos Caso 3: a, b, c=1; K=10; p0=5; Tm=2; Tp=1. Menor retardo temporal en la transcripción: amortiguación más rápida. Observamos que las concentraciones están muy cerca de los valores estacionarios: sería interesante examinar las ecuaciones en estas condiciones.

Conclusiones Muchos sistemas biológicos dinámicos, en particular ciertas proteínas, se autorregulan según modelos de ecuaciones diferenciales tratados en problemas de física. Si bien las ecuaciones no son lineales, mediante un análisis cualitativo podemos averiguar cómo se comportarán las concentraciones de proteínas según sus parámetros activadores (de traducción y transcripción) y represores (de degradación). El carácter no lineal de las ecuaciones no permite un análisis más en profundidad del problema con los conocimientos actuales, más si se tiene en cuenta que la no linealidad no sigue un “método general”, sino que cada problema requiere un estudio detallado. Estos sistemas parecen describir muchas interacciones biológicas, dando lugar a todo un campo en la biofísica: dinámica de sistemas biológicos.

Bibliografía y material adicional. Lewis, J. ‘Autoinhibition with Transcriptional Delay: A simple Mechanism for the Zebrafish Somitogenesis Oscillator’, Current Biology (2003) 13:1398. B. Novak and J. J. Tyson, ‘Design principles of biochemical oscillators’ , Nature Reviews in Molecular Cell Biology (2008), 9:981. Javier M. Buldú, Alexandre Wagemakers, Miguel A. F. Sanjuán,Antonio Coloma y Oscar de Luís, ‘Redes genéticas sintéticas: de lo simple a lo complejo’ , Universidad Rey Juan Carlos (2006) D.W. Jordan and P. Smith , ‘ Nonlinear ordinary differential equations’, (2007) ed. Oxford. Gerald Teschl, ‘ Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems ’ (2012) Código: http://dl.dropbox.com/u/7142663/proyecto.zip Documentación: http://www.radford.edu/~thompson/webddes/tutorial.html