Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador

Presentación del tema: "Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador"— Transcripción de la presentación:

1 Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador
Héctor Meneses Alcay y Eduardo González Olivares Grupo Ecologia Matemática, Instituto de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Valparaíso ;

2 INTRODUCCION En este trabajo analizamos un modelo predador – presa del tipo Gause con respuesta funcional de los depredadores del tipo Holling II y efecto Allee sobre los predadores. También consideramos la población de presas afectada por la inmigración o emigración. El comportamiento del sistema es altamente dependiente de este efecto y además mostramos la existencia de un único ciclo límite.

3 El modelo Hacemos un estudio del modelo propuesto por Kent, el cual asume el efecto Allee sobre la población de depredadores y su comporta- miento está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

4 El sistema está definido en el primer cuadrante
y los parámetros tienen los siguientes significados biológicos. r es la tasa intrinseca de crecimiento de las presas K capacidad de soporte del medio  es la tasa de inmigración o emigración

5 Q tasa de conversion en nuevos depredadores por consumo de presas
h tiempo de captura por cada presa encontrada P promedio de busqueda del depredador a = 1 / Qh es la cantidad de presas para alcanzar la mitad de Q ( tasa de saturación media )

6 El sistema no es del tipo Kolmogorov, excepto
cuando  = 0 Los puntos de equilibrio del sistema son :

7 LEMA 1 El sistema es topologicamente a : y

8 En orden a analizar el sistema y simplificar los calculos hacemos una reparametrización dada por la función donde

9 y se tiene Es decir ,  es un difeomorfismo y el campo vectorial en el nuevo sistema de coordenadas es topologicamente equivalente al campo vectorial Y  =  o X y tiene asociado un polinomio de tercer grado al sistema de ecuaciones diferenciales

10

11 y los puntos de equilibrio son :
La matriz Jacobiana es

12 Principales resultados
Considerando en el sistema E > 0 , se tienen los siguientes resultados LEMA 2 b ) Las soluciones son acotadas

13 LEMA 3 El punto P1=(1 , 0 ) es a ) Un pun to silla si C < 1 b ) Un nodo atractor si C > 1, e implica la no existencia de un punto de equilibrio en el primer cuadrante En lo que sigue consideraremos que C < 1 , y para simplificar haremos E = A > 0, esto quiere decir que la interacción entre las especies está afectada por el fenómeno de la inmigración

14 Entonces tenemos el caso particular, con dos parámetros
Dados por el sistema

15 LEMA 4 a ) Un punto de equilibrio atractor si y sólo si C > A > 1/ 2

16 b) Un punto de equilibrio repulsor si y sólo si C > A > 1 / 2
c ) Es un punto silla si y sólo si, A < 1 / 2 y A < C o bien A > 1 / 2 y A > C

17 LEMA 5 La singularidad ( C , 4C( 1 – C ) 3) es un punto de equilibrio atractor si y sólo si A + 2 C2 – C > 0

18 LEMA 6 a ) Si ( C , 4C ( 1- C ) 3 es un punto de equilibrio repulsor no puede coexistir con ( - A , 0 ) repulsor , atractor o bien punto silla cuando A > C y A > 1 / 2 b ) Un punto de equilibrio repulsor rodeado de un ciclo límite si y sólo si A + 2 C 2 – C < 0

19 b ) ( - A , 0 ) es silla si A < C y A > 1 / 2 , entonces puede coexistir con
( C , ( 1 – C ) 3 ) cuando es un punto de equilibrio atractor A = 0.6 ; C= 0.7 LEMA 7 Cuando el punto ( - A , 0 ) es un punto silla , esto es , si A < C y A < 1 / 2 , la variedad estable W s de este punto determina una curva separatríz en el plano de fase que divide el comportamiento de las trayectorias

20 TEOREMA 8

21 Consideremos ahora cuando hay emigración, es decir, si E < 0, y el sistema de ecuaciones diferenciales es :

22 y los puntos de equilibrio son :
Es decir  < 0, y graficamente se tiene: Isoclina predador E A Pe= ( ue , ve ) C Isoclina presas

23 Consideraremos - E < C < 1, en los otros casos el punto no trivial queda en el IV cuadrante
Principales resultados LEMA 9 Los puntos de equilibrio P1( 1 , 0 ) y PE ( - E , 0 ) son puntos silla

24 Sea um donde la isoclina de las presas tiene un máximo relativo, entonces :
LEMA 10 a ) Si - E < C < um entonces Pe= ( ue , ve ) es repulsor A=0.5 ; E= ; C = 0.5

25 A = 0.3 ; E = ; C = 0.65

26 b ) Si um < C < 1 entonces Pe= ( ue , ve ) es un
atractor local A = 0.3 ; E = ; C = 0.7

27 c ) Si C = um, entonces Pe(ue, ve) es un foco débil de
primer orden. A = 0.3 ; E = ; C = = um

28 Muchas Gracias por habernos invitado
Un buen año para todos