MATEMÁTICAS 3º DIVERSIFICACIÓN Tema 4 DIVISIBILIDAD MATEMÁTICAS 3º DIVERSIFICACIÓN

Múltiplos y divisores Dados dos números naturales, a y b , se dice que “a es divisible por b”, o que “a es múltiplo de b”, o que “b es divisor de a”, si la división a:b es exacta. También: “45 es múltiplo de 3” “45 es múltiplo de 5” “45 es múltiplo de 9” “45 es múltiplo de 15” Y también: “3 es divisor de 45” “5 es divisor de 45” “9 es divisor de 45” “15 es divisor de 45” EJEMPLO 45 = 3.3.5 = 9.5 = 3.15 Podemos decir: “45 es divisible por 3” “45 es divisible por 5” “45 es divisible por 9” “45 es divisible por 15”

Factorización de un número Factorizar un número es convertirlo o expresarlo como producto de sus factores primos. Sea el número 360 360 = 2.2.2.3.3.5 = = 23.32.5 360 180 90 45 15 5 1 2 3 5 MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Propiedades 1.- Todo número es divisible por si mismo y por la unidad. 13 13 ---- = 1 ; ----- = 13 13 1 Si además, dicho número no es divisible por ningún otro, decimos que es un NÚMERO PRIMO. 2.- Si dos números son múltiplos de otro número, su suma también lo es. 45 es múltiplo de 3 , pues 45: 3 = 14 60 es múltiplo de 3 , pues 60 : 3 = 20 Sumamos 45+60 = 105 Pues bien, 105 es múltiplo de 3 Comprobamos: 105 : 3 = 35

Propiedades 3.- Si dos números son múltiplos de un número, su diferencia también lo es. 15 es múltiplo de 3 , pues 15: 3 = 5 60 es múltiplo de 3 , pues 60 : 3 = 20 Restamos 60 – 15 = 45 Pues bien, 45 es múltiplo de 3 Comprobamos: 45 : 3 = 15 75 es múltiplo de 5 , pues 75: 5 = 15 95 es múltiplo de 5 , pues 95 : 5 = 19 Restamos 95 – 75 = 20 Pues bien, 20 es múltiplo de 5 Comprobamos: 20 : 5 = 4

Propiedades 4.- Transitiva: Si un número es múltiplo de otro y éste es múltiplo de un tercero, el primer número es también múltiplo del tercero. 360 es múltiplo de 12, pues 360 : 12 = 30 12 es múltiplo de 3, pues 12 : 3 = 4 Pues bien, 360 es múltiplo de 3 Comprobamos: 360 : 3 = 120 120 es múltiplo de 8, pues 120 : 8 = 15 15 es múltiplo de 5, pues 15 : 5 = 3 Pues bien, 120 es múltiplo de 5 Comprobamos: 120 : 5 = 24

Propiedades 5.- Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero son múltiplos del segundo. 8 es múltiplo de 2 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, etc son múltiplos de 8. Pues bien, los números 16, 24, 32, 40, … son múltiplos de 2 15 es múltiplo de 3 30, 45, 60, 75, 90, etc son múltiplos de 15. Pues bien, los números 30, 45, 60, 75, 90, etc son múltiplos de 3

FACTORES PRIMOS Todo número se puede DESCOMPONER en producto de factores primos. Cuando los factores primos se repitan se expresará como potencias de exponente natural 15 = 3.5 25 = 5.5 = 52 14 = 2.7 91 = 7.13 216 = 2.2.2.3.3.3 = 23.33 64 = 2.2.2.2.2.2 = 26 1024 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 210

Divisibilidad de números. Para que un número sea divisible por otro, el primero debe contener todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores. 64 es divisible por 8 64 = 26 8 = 23 Vemos que 64 contiene a todos los factores de 8 con exponentes mayores, pues 6>2 192 es divisible por 12 192 = 26 .3 12 = 22.3 Vemos que 192 contiene a todos los factores de 12 con exponentes mayores, pues 6>2 y 1=1

Divisores de un número Si en un número descompuesto, los exponentes de sus factores primos valen x, y , z, el número de divisores será: N=(x+1).(y+1).(z+1) Sea el número 360 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23.32.5 El número de divisores será: N = (3+1).(2+1).(1+1) = 4.3.2 = 12.2 = 24 divisores Veamos que es así: Los divisores de 360 son: 2, 4, 8, 3, 9, 5, 6, 12, 24, 18, 36, 72, 10, 20, 40, 15, 45, 180, 120, 90, 72, 60 360, 1

Divisores de un número Veamos otro ejemplo Sea el número 875 875 = 5.5.5.7 = 53.7 El número de divisores será: N = (3+1).(1+1) = 4.2 = 8 divisores Comprobamos que es así: Los divisores de 875 son: 5, 25, 125, 35, 175, 875, 360, 7, 1

Números Primos Un número primo sólo tiene como divisores a él mismo y a la unidad. Un número será primo si al dividirlo por los primeros primos, se cumple que el cociente queda de valor menor o igual que el divisor. Ejemplo: 109 109 ----- = 54 y de resto 1 2 ----- = 36 y de resto 1 3 ----- = 21 y de resto 4 5 109 ----- = 15 y de resto 4 7 ----- = 9 y de resto 10 11 Y como el cociente ( 9 ) es menor que el divisor ( 11 ), ya no necesitamos seguir. Podemos afirmar que 109 es un número primo.

La Criba de Eratóstones La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número; y los que finalmente queden serán los números primos. Para obtener los números primos, en la siguiente tabla, a partir del 2, se van tachando (nosotros los hemos puesto de rojo) todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. Los números que quedan sin color rojo (los que están en azul), son los números primos.

Tabla de números primos    1     2     3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   31   32  33   34    35   36   37   38   39   40   41   42   43    44   45   46   47   48   49   50   51   52   53   54   55   56    57   58   59   60   61   62   63   64   65   66   67   68   69   70   71   72   73   74   75   76   77   78    79   80   81   82   83   84   85   86   87   88   89   90   91   92   93   94   95   96   97   98   99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150

Tabla de números primos    1     2     3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   31   32  33   34    35   36   37   38   39   40   41   42   43    44   45   46   47   48   49   50   51   52   53   54   55   56    57   58   59   60   61   62   63   64   65   66   67   68   69   70   71   72   73   74   75   76   77   78    79   80   81   82   83   84   85   86   87   88   89   90   91   92   93   94   95   96   97   98   99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR: 2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par 312 3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3 321 4 Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4 2512 5 Todo número que termine en 0 o en 5 315 6 Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez 7 Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7 476 (35) 8 Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8 13.720 9 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9 7.578 10 Todo número que termine en 0. 12.780 11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11 8.195