ESPAD III * TC 30 Función afín

FUNCIÓN AFÍN Las funciones de la forma: y = m.x + n Son funciones lineales y como tales se representan por una recta, pero con la salvedad de que no pasa por el origen (0, 0). Se llaman funciones afines y m es la pendiente. El valor de la ordenada para x=0 es n y se llama ordenada en el origen. EJEMPLO DE FUNCIÓN AFÍN: Al comprar una moto tenemos que dar una entrada de 100 € y luego pagar 50 € cada mes. Determinar la cantidad abonada en cualquier momento. RESOLUCIÓN: Si llevo x meses pagando la moto, habré abonado por ella: 100+50.x  y = 50.x + 100 Vemos que la pendiente, m, es 50 y la ordenada en el origen es 100. Si no fuera por los 100 € de entrada sería una función lineal.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFIN Sea  f(x) = mx+n El parámetro m es la pendiente de la recta, y n es la ordenada en el origen.  Tabla de valores: x y 0 n x1 y1 x2 y2 Y y2 y1 0 x1 x2 X n y2 – y1 m = ------------ x2 – x1

Ejemplo_1 Una caja de 40 chocolatinas nos ha costado 8 €. La misma caja conteniendo 60 chocolatinas nos ha costado 11 €. ¿Cuánto cuesta el envoltorio, si el precio de cada chocolatina de ambas cajas es el mismo?. Resolución analítica: Sea m el precio de cada chocolatina. Sea x la cantidad de chocolatinas. Sea n lo que cuesta el envoltorio. Función de proporcionalidad directa, pues a más chocolatinas cuesta más la caja y cada chocolatina vale siempre lo mismo: y = m.x +n 8 = m.40+n en una caja. 11 = m.60 + n en la otra caja. Sabemos que m = (11 – 8)/(60 – 40) = 3/20 = 0,15 € Luego 8 = 0,15.40 + n  8 = 6 + n  n = 8 – 6  n = 2 El envoltorio vale 2 €

Una caja de 40 chocolatinas nos ha costado 8 € Una caja de 40 chocolatinas nos ha costado 8 €. La misma caja conteniendo 60 chocolatinas nos ha costado 11 €. ¿Cuánto cuesta el envoltorio, si el precio de cada chocolatina de ambas cajas es el mismo?. Resolución gráfica: 12 10 8 6 4 2 0 10 20 30 40 50 60 Nº Choc

Ejemplo_2 Queremos llenar de agua una bañera. A los cuatro minutos de abrir el grifo tenemos 400 litros de agua en la bañera y a los seis minutos tenemos 500 litros en la bañera. ¿Tenía agua la bañera antes de abrir el grifo?. ¿Cuánta agua había?. ¿Cuánto tardará en llenarse del todo si admite 700 litros como máximo?. Resolución analítica: Sea m la cantidad de agua que arroja el grifo cada minuto. Sea x la cantidad de minutos que se abre el grifo. Sea y la cantidad de agua en la bañera. Función de proporcionalidad directa, pues a más tiempo más agua habrá en la bañera y cada minuto el grifo arroja la misma cantidad de agua. y = m.x +n 400 = m.4+n a los cuatro minutos. 500 = m.6 + n a los seis minutos. Sabemos que m = (600 – 500)/(6 – 4) = 100/2 = 50 l/min Luego 400 = 50.4 + n  400 = 200 + n  n = 400 – 200  n = 200 Antes de abrir el grifo había 200 litros en la bañera.

Queremos llenar de agua una bañera Queremos llenar de agua una bañera. A los cuatro minutos de abrir el grifo tenemos 400 litros de agua en la bañera y a los seis minutos tenemos 500 litros en la bañera. ¿Tenía agua la bañera antes de abrir el grifo?. ¿Cuánta agua había?. ¿Cuánto tardará en llenarse del todo si admite 700 litros como máximo?. Resolución gráfica: Litros de agua 700 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10minutos

EJEMPLO PROPUESTO 3 Queremos comprar una consola para videojuegos que cuesta 300 €. Nos financian la compra, de modo que pagamos 50 € de entrada y 10 € cada mes, hasta un total de 30 meses. Estudiar una función que nos dé en todo momento la cantidad que hemos pagado por la consola. ¿Qué tipo de función resulta?. Calcular con la fórmula hallada cuánto hemos pagado al cabo de un año. ¿Y de dos años?. Con los datos anteriores construye el gráfico de la función. A la vista del gráfico, ¿cuándo habremos pagado ya los 300 € que valía?. (Tarea para casa)

EJEMPLO PROPUESTO 4 Un depósito está lleno de aceite. Se abre una válvula que transporta el aceite para su embasado en botellas de litro. A los 20 min de abrir la válvula en el depósito hay 45.000 litros. A las dos horas hay en el depósito 20.000 litros. Estudiar una función que nos dé en todo momento los litros de aceite que hay en el depósito. ¿Qué tipo de función resulta?. Calcular, con la fórmula hallada, cuántos litros habrá a las tres horas de abrir la válvula?. Con los datos anteriores construye el gráfico de la función. A la vista del gráfico, ¿cuántos litros tiene el depósito lleno?. ¿En cuánto tiempo se vaciará?. (Tarea para casa)