SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PUNTO PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS ECUACIONES DE UNA RECTA POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS ECUACIONES DE UN PLANO POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO Espacio Afín FIN

u1u1 u2u2 u3u3 o A X COORDENADAS DEL SIMÉTRICO DE A RESPECTO A X¿A’? OA’=OA+AA’ OA’=OA+2AX A’ OA’=OA+2(OX-OA) OA’=2OX-OA MENÚ

u1u1 u2u2 u3u3 o P M COORDENADAS DEL PTO MEDIO DE DOS PUNTOS P,Q¿M? OM=OP+PM OM=OP+1/2PQ Q OM=OP+1/2(OQ-OP) OM=1/2(OQ+OP) MENÚ

u1u1 u2u2 u3u3 o A v X ¿OX? OX=OA+AX OX=OA+t v ECUACIONES DE UNA RECTA

OX=OA+tv : Ecuac.Vectorial(x 1, x 2, x 3 )= (a 1, a 2, a 3 )+t (v 1, v 2, v 3 ) x 1 = a 1 +t v 1 x 2 = a 2 +t v 2 x 3 = a 3 +t v 3 :Ecuac. Paramétricas t= x 1 - a 1 v 1 t= x 2 – a 2 v 2 t= x 3 – a 3 v 3 x 1 - a 1 = x 2 – a 2 = x 3 – a 3 V 1 v 2 v 3 :Ecuac. Continua Ax+By+Cz-D=0 A’x+B’y+C’z+D=0 ECUACIONES DE UNA RECTA

PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.- Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados 2.- Condiciones de incidencia punto recta 3.- Condiciones para que tres puntos estén alineados MENÚ

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS SE CRUZAN SON PARALELAS SE CORTANCOINCIDENTES

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS x 1 = a 1 +t v 1 x 2 = a 2 +t v 2 x 3 = a 3 +t v 3 r x 1 = a’ 1 +s v’ 1 x 2 = a’ 2 +s v’ 2 x 3 = a’ 3 +s v’ 3 r’ a 1 +t v 1 = a’ 1 +s v’ 1 a 2 +t v 2 = a’ 2 +s v’ 2 a 3 +t v 3 = a’ 3 +s v’ 3 t v 1 -s v’ 1 = a’ 1 -a 1 t v 2 -s v’ 2 = a’ 2 -a 2 t v 3 -s v’ 3 = a’ 3 -a 3 v 1 v’ 1 v 2 v’ 2 v 3 v’ 3 M= Rango M= 2 Rango M’= 3 Se cruzan 2 Se cortan 1 Rango M’= 2 1 Paralelas Coincidentes MENÚ

u1u1 u2u2 u3u3 o A X ECUACIONES DE UN PLANO OX=OA+AX AX=t u+ s v OX=OA+ t u+ sv v u

OX=OA+tu+sv: Ecuac.Vectorial (x 1, x 2, x 3 )= (a 1, a 2, a 3 )+t (u 1, u 2, u 3 )+ s (v 1, v 2, v 3 ) x 1 = a 1 +t u 1 +s v 1 x 2 = a 2 +t u 2 +s v 2 x 3 = a 3 +t u 3 +s v 3 :Ecuac. Paramétricas x 1 - a 1 u 1 v 1 x 2 – a 2 u 2 v 2 x 3 – a 3 u 3 v 3 Ax+By+Cz+D=0 =0 :Ecuac. General

u1u1 u2u2 u3u3 o A X ECUACIÓN NORMAL DE UN PLANO n AX= 0 n (OX-OA)=0n Si sup. Una base ortonormal: n 1 (x-a 1 )+ n 2 (y-a 2 )+ n 3 (z-a 3 )=0 n 1 x+ n 2 y+ n 3 z+(-n 1 a 1 -n 2 a 2 -n 3 a 3 )=0 Ax+By+Cz+D=0

PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.- Determinar las ecuaciones del plano determinado por tres puntos no alineados 2.- Condiciones de incidencia punto plano 3.- Condiciones para que cuatro puntos sean coplanarios

u1u1 u2u2 u3u3 o A X ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PTOSOX=OA+AX AX=t AB+ s AC OX=OA+ t AB+ sAC B C MENÚ

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

 : Ax+By+Cz+D=0  : A’x+B’y+C’z+D’=0 M= A B C A’ B’ C’ M’= Rango M= 2 Rango M’=2Se cortan 1 Rango M’= 2 1 Paralelos Coincidentes A B C D A’ B’ C’ D’ MENÚ

POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO x= a 1 +t v 1 y= a 2 +t v 2 z= a 3 +t v 3 r Ax+By+Cz+D= 0 n=(A,B,C)  Distinto de 0Se cortan 0 Paralelas Contenida v.n= A A pertenece a  A no pertenece a  A MENÚ.n v v v

 : Ax+By+Cz+D=0  : A’x+B’y+C’z+D’=0 M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’  A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0 POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Rango M= 3 2 I Rango M’=3 Rango M’=2 Rango M’=1

Rango M=3 Se cortan en un pto

Rango M=2 Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ 32 El sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad

Rango M=2Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto Dos planos paralelos y uno secante Secantes dos a dos 3

Rango M=2Rango M’= M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ 2 El sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad

Rango M=1 Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ 21 El sistema es compatible indeterminado con 2 grado de libertad

Rango M=1Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto Tres planos paralelos Dos planos paralelos y un coincidente 2

Rango M=1Rango M’= El sistema tiene solución, con dos grados de libertad Tres planos coincidentes 1

HAZ DE PLANOS POR UNA RECTA r= Ax+By+Cz+D=0 A’x+B’y+C’z+D’=0 Ax+By+Cz+D=0 A’x+B’y+C’z+D=0 A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0 El sistema tiene solución con un grado de libertad. A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0 Es combinación lineal de las otras dos A’’x+B’’y+C’’z+D’’=  Ax+By+Cz+D)+  A’x+B’y+C’z+D’)=0 MENÚ