. Situación de las matemáticas en el siglo XVIII Las matemáticas son consideradas una Ciencia de la Naturaleza: Las teorías matemáticas deben reflejar la realidad física, son una herramienta para formular y descubrir las Leyes de la Naturaleza. Las definiciones matemáticas son descriptivas; no crean objetos matemáticos sino que describen algo que se supone debe imitar una realidad externa. Los números reales están asociados con magnitudes y se interpretan geométricamente. Son algo dado en la realidad física. Los matemáticos eran, cada vez más conscientes de que los progresos del Cálculo dependían de un mejor conocimiento de los números reales. La idea de número irracional lleva consigo asociada la del infinito, y por tanto necesitará los fundamentos de una teoría matemática del infinito.

El Cálculo Diferencial. Después de la invención del Cálculo el objetivo era usarlo para descubrir nuevos resultados. La confianza en dichas técnicas descansaba en su extraordinaria eficacia para resolver multitud de problemas. A finales del siglo XVIII, el uso continuado de los infinitésimos, que nadie sabía explicar, unido a la incomprensión de los procesos de convergencia, propiciaron estudios críticos de los conceptos básicos del Cálculo,

El siglo XIX: El rigor sustituye a la intuición

El siglo XIX Una buena descripción de la situación del Análisis al comienzo del siglo XIX aparece en la carta que escribe N. Abel (1802-1829) en Octubre de 1826, desde París, a su antiguo maestro Hansteen en Oslo: Quiero dedicar todos mis esfuerzos a traer un poco de claridad a la prodigiosa oscuridad que uno encuentra hoy en el Análisis. La falta de unidad y planificación hace realmente sorprendente que haya tanta gente estudiando esta disciplina. Lo peor de todo es la absoluta falta de rigor con que se trata. Sólo hay unas pocas proposiciones en análisis superior que hayan sido demostradas con todo rigor. Esto continuará así hasta que se descubra un método general. Pero debo ser extremadamente cuidadoso, pues una vez admitidas las proposiciones sin una demostración rigurosa (es decir, sin demostración), arraigan tan profundamente en mí que en cada instante me expongo a utilizarlas sin ningún cuidado...

Carta de N. Abel Por todas partes aparece la desafortunada forma de razonar de lo particular a lo general, y resulta extraño que, a pesar de todo, aparezcan tan pocas paradojas. En mi opinión, la razón es que las funciones de las que, hasta ahora, se ha ocupado el análisis, pueden, en su mayor parte, expresarse por una serie de potencias. Cuando aparecen otras para las que esto no es verdad (lo que, ciertamente, no sucede a menudo), los resultados pueden no ser ciertos, y así fluye una masa de proposiciones incorrectas ligadas una a la otra.

Necesidad de clarificar El “método general” al que hace referencia Abel, pasa por clarificar las nociones básicas de función, límite y continuidad, y su desarrollo, junto con el de los nuevos paradigmas de rigor a que dio origen, ocupó los dos últimos tercios del siglo XIX. No existe el concepto de dominio de una función, el concepto de límite está asociado a la imprecisa idea de los infinitésimos y el concepto de continuidad siempre había sido considerado desde un punto de vista filosófico, más como una ley de la naturaleza que como un concepto propiamente matemático. Algunos de los autores de estas precisiones serán J. Dirichlet , A. Cauchy, , B. Bolzano R. Dedekind y K. Weierstrass

Concepto de función La necesidad de precisar el concepto de función surgió en el estudio de las vibraciones planas de una cuerda elástica tensa, sujeta por sus extremos, cuya posición inicial viene dado por una función conocida f(x). Euler en su libro Introductio in “Analysis infinitorum”, da la siguiente definición de función: “Una función de una cantidad variable es cualquier expresión analítica* formada a partir de dicha cantidad variable y números o cantidades constantes”. Sin embargo, no precisó que significaba “expresión analítica” aunque sin duda indicaba , series, fracciones, productos infinitos.

Concepto de función El corazón del problema para avanzar estaba en la confusión entre el concepto de función y el de su representación. La separación de estos conceptos llevará a considerar una función con independencia de su representación analítica. Permitirá introducir nuevas funciones más complejas que obligarán a fijar los conceptos de continuidad, derivabilidad. La evolución del concepto de función puede ser vista como una lucha entre dos visiones : la geométrica y la algebraica. La concepción geométrica es gradualmente abandonada.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania 1805 -1859) , fue matemático y se le atribuye la definición "formal" moderna de una función. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Su primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat para el caso n=5. Aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función. Afirma: “y es una función de una variable x, definida en un intervalo a<x<b, si para cada valor de la variable x en este intervalo le corresponde un valor concreto de la variable y”. Además, es irrelevante la forma en que esta correspondencia se establezca.

¿Qué diremos con respecto al límite? Como ya hemos mencionado, las ideas sobre el concepto de límite eran confusas debido al uso de los infinitésimos, algo así como variables con límite cero. De manera análoga, un cociente incremental se reemplazaba por la derivada y una suma de un número finito de términos difícilmente se distinguía de una integral ; los matemáticos pasaban de una a otra con toda libertad. Es pues obligada una nueva formulación de los mismos mucho más formal y rigurosa, según los criterios actuales, su precio será que esta formulación es mucho menos intuitiva

Concepto de límite

Concepto de límite Debemos notar que todas estas definiciones de límite se refieren a variables y que dichas variables suelen interpretarse como cantidades geométricas (áreas, longitudes, etc.) Además una cantidad constante es interpretada generalmente como una cantidad positiva. Con frecuencia el cero tiene un carácter especial y se dan definiciones específicas para tenerlo en cuenta.

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (París, 1789- 1857) matemático francés, pionero en el análisis matemático investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

Augustin Louis Cauchy Cauchy ocupó varios puestos públicos menores y era amigo de Joseph-Louis de Lagrange y Pierre Simon Laplace. Estudió en École Polytechnique, fue contratado como ingeniero militar en 1812 para contribuir al gran plan de Napoleón para transformar el puerto de Cherbourg en el más importante de Francia e Inglaterra. Sin embargo, su mala salud le obligó a abandonar este proyecto. Comenzó a dedicarse a la investigación científica intensiva, y a la publicación de varias obras importantes en rápida sucesión. La principal aportación de este período fue la demostración del teorema del número poligonal de Fermat, al que se habían dedicado sin éxito ilustres matemáticos contemporáneos como Gauss. Fue nombrado profesor de la mecánica en la École Polytechnique en 1816. Fue promovido a miembro de la Academia Francesa de las Ciencias.

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy Lo importante es que traduce los conceptos de límite por desigualdades. El error es anecdótico . Cuando En su libro define el concepto de continuidad.

Augustin Louis Cauchy

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Bernard Bolzano Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, 1781-1848), fue matemático, lógico, filósofo y teólogo bohemio. Es célebre por el por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass, Criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas, y las verdades existen de modo independiente a las personas que los piensen.

Mejor no tocar La actitud predominante de los matemáticos ante el problema del infinito: ignorarlo y seguir adelante. Es significativa, a este respecto, la opinión de K. F. Gauss (1777-1855), expresada en una carta escrita a su amigo Schumacher en en 1831: “En lo que concierne a su demostración…protesto contra el uso que se hace de una cantidad infinita como una entidad real; esto nunca se permite en matemáticas. El infinito es sólo una manera de hablar, puesto que se trata en realidad de límites…”.

B. Bolzano En 1851, tres años después de su muerte, apareció su obra Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del Infinito) en la que se recogen sus reflexiones sobre la noción de infinito. El infinito no se debe buscar en un proceso eternamente inacabado; al contrario, la posibilidad de tomar valores más y más grandes supone que el conjunto de esos valores es realmente infinito (considera un conjunto como un todo, sin necesidad de considerar separadamente cada uno de sus elementos).

B. Bolzano Introduce por primera vez un punto de vista conjuntista en las Matemáticas. Su concepto de infinito: Llamaré infinita a una multitud si todo conjunto finito es tan sólo una parte de ella. Construye un conjunto infinito utilizando implícitamente la existencia de un conjunto infinito previo: el de los números. Cae en un círculo vicioso, del que salir es imposible: para construir un conjunto infinito debe suponer la existencia de al menos un conjunto infinito.

El infinito y más allá Reconoce la existencia de diferentes órdenes de infinitud y se enfrenta al problema de comparar y establecer un orden entre los conjuntos infinitos. no le parece que la existencia de una biyección sea criterio suficiente para afirmar que ambos conjuntos son “comparables" y elige como criterio la relación de inclusión entre conjuntos. De esta forma puede comparar conjuntos infinitos pero no puede cuantificar el infinito . Este conflicto profundo le impidió construir una aritmética coherente de magnitudes infinitas (por ejemplo, sostenía que la magnitud de un conjunto infinito cambia cuando se le añade un elemento.)

Los números reales A mediados del siglo XIX no era posible demostrar algunos resultados básicos del cálculo: Toda función creciente y acotada tiene límite, El teorema del valor intermedio para funciones continuas Faltaba codificar una propiedad fundamental de los números reales, la que ahora llamamos completitud y entonces se llamaba propiedad de continuidad.

Los números reales En 1872 se publicaron dos trabajos, uno de Cantor y otro de Dedekind, en los que, a partir del sistema de los números racionales, cada autor desarrollaba una construcción matemática de los números reales.

Julius Wilhelm Richard Dedekind Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 - 1916), matemático alemán, nació en Brunswick. En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga.

J. Richard Dedekind Fue alumno del matemático Moritz Abraham Stern, y del físico Wilhelm Weber. Su tesis doctoral (1852), fue supervisada por Gauss, que lo consideró su último alumno. Estudió la teoría de los números y otras materias con G. Dirichlet, al que le uniría una gran amistad. Para ampliar sus conocimientos, abordó el estudio de las funciones abelianas y elípticas de la mano del genial Bernhard Riemann. Su correspondencia con otros matemáticos resultó fructífera y estimulante

Cortaduras de Dedekind Sus cortaduras zanjan definitivamente el problema de la fundamentación del análisis al definir el conjunto de los números reales a partir de los racionales. En su magistral artículo de 1872, titulado “Continuidad y números irracionales “, caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo. Al comienzo del artículo manifiesta su propósito de reducir los números reales a la aritmética, eliminando así todo contenido geométrico en la idea de número real.

Sustento intuitivo Para explicar lo que él hizo vamos a partir de la intuición de una recta. Elegido un punto como origen y un segmento como unidad, podemos hacer corresponder a cada número racional un punto de esa recta. Cualquier punto que corresponda con un segmento de longitud inconmensurable con la unidad elegida no puede ser representado por un número racional . Los números racionales no son suficientes para describir numéricamente "el continuo“, ya que dejarían"huecos“.

Idea de Dedekind Se preguntaba Dedekind: ¿En qué consiste la propiedad de la continuidad? “el problema es indicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir como base para deducciones válidas”. Antes de revelar el secreto previene al lector, Muchos de mis lectores quedarán grandemente disgustados al saber que con una vulgar observación se revela el secreto de la continuidad.

¿Cuál es esa vulgar observación'? Todo punto de una recta la divide en dos partes disjuntas, la parte A, formada por los puntos de la recta que están a su izquierda, y la parte B, formada por los puntos de la recta que están a su derecha. El propio punto podemos incluirlo bien en A o en B.

Estrategia Una cortadura de Q es un par (A. B), donde A y B son dos conjuntos no vacíos de números racionales tales que Q = A U B, y todo número de A es menor que todo número de B y A no tiene máximo. Todo número racional r de Q produce una cortadura dada por A = {x єQ : x < r} , B = {x єQ : x ≥ r}. Pero en la recta racional hay muchas cortaduras que no están producidas por números racionales. El par (A,B) A = {x єQ: x² < 2}, B = {x єQ : 2≤x² } define una cortadura de Q que no está producida por ningún número racional

Idea genial ¿De dónde sacamos los números reales si todo lo que tenemos son los racionales'? "Si todos los puntos de la recta se dividen en dos clases tales que todo punto de la primera clase queda a la izquierda de todo punto de la segunda clase, Entonces existe uno, y sólo un punto que produce esta división ...“ Un número real es una cortadura de Q . La idea es que la recta es continua porque entre dos puntos de ella sólo hay puntos de la misma recta.

R. Dedekind En su trabajo ¿Qué son y para qué sirven los números? publicado en 1888 da la siguiente definición: Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito. Además precisa el significado de las operaciones elementales de la teoría de conjuntos, y da la definición general de función entre conjuntos abstractos, generalizando así la dada por Dirichlet para funciones reales.

K. Weierstrass (1815-1897) Era conocido como profesor de instituto, cuando en 1854 publicó us trabajo sobre las funciones abelianas que causó sensación en la comunidad matemática. Poco después, en 1856, ya era profesor de la Universidad de Berlín. Los cursos que impartió durante más de 30 años atrajeron a numerosos matemáticos de toda Europa. Discípulos suyos fueron G. Cantor, S. Kovalevsky, M. Planck y D. Hilbert.

K. Weierstrass Weierstrass es considerado como el más grande analista del último tercio del siglo XIX y se le ha llamado “el padre del Análisis moderno”. Entre otras cosas , desarrolló una teoría aritmética de los números reales, y aunque no publicó mucho, su influencia fue enorme y sus conferencias magistrales fueron difundidas por toda Europa por sus numerosos discípulos También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc. Acometió la tarea de revisar radicalmente los conceptos fundamentales del Análisis y a este fin dedicó algunos de sus cursos.

K. Weierstrass Llevó a sus últimas consecuencias el proceso de aritmetización del Análisis. (alejamiento de la geometría) Estaba convencido de que el Análisis debía ser liberado de los razonamientos geométricos y de los conceptos intuitivos de espacio tiempo y movimiento y debía estar fundamentado sobre los números enteros positivos. Una variable es sólo el símbolo que sirve para designar cualquier elemento del conjunto de valores que se le puede atribuir . Una variable continua es aquella cuyo conjunto de valores no tiene puntos aislados. Weierstraß dio las definiciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función. Él tradujo por medio de desigualdades y de valores absolutos las definiciones verbales de límite y de continuidad dadas por Cauchy y Bolzano.

K. Weierstrass La definición de límite, tal como fue recogida por H. Heine (1821-1881)en sus notas es la siguiente: “Se dice que L es el límite de la función f(x) para x=a si, dado cualquier ε, existe un δ₀ tal que para 0<δ<δ₀, la diferencia f(a±δ)-L ews menor en valor absoluto que ε”. Si tenemos ahora en cuenta que la definición de límite es el fundamento de las definiciones de continuidad, derivada, integral y los distintos tipos de convergencia, comprenderemos hasta qué punto con esta definición nos hemos liberado por fin del sentido mágico de los infinitésimos .

K. Weierstrass Así por ejemplo, esta clarificación le permitió probar un conjunto de resultados que estaban entonces sin demostrar tales como: el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel. Curiosamente la letra griega ε que usaba Cauchy con un significado de “error”, se ha convertido en el paradigma de la precisión en nuestras actuales definiciones heredadas de Weiertrass.