Álgebra Superior Matrices Sesión II

Definición de Matriz Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz m x n, es un arreglo rectangular en el cual cada elemento aij de la matriz es un número. Una matriz m x n tiene m renglones y n columnas. A =

Sistema de Ecuaciones Lineales Usos de las matrices Se utilizan para representar sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.) con varias incógnitas. Sistema de Ecuaciones Lineales x – 4y + 3z = 5 -x +3y –z = -3 2x - 4z = 6

Matriz aumentada: Es la matriz obtenida de los coeficientes y los términos constantes de un S. E. L.

Matriz de coeficientes: Es la que contiene solo los coeficientes del S Matriz de coeficientes: Es la que contiene solo los coeficientes del S.E.L.

Operaciones en los Renglones Intercambiar dos ecuaciones de lugar. Matriz Original: Intercambiando el 1er y 2º renglón:

Multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero. Matriz original: Multiplicando por ½ (ó 0.5) el primer renglón:

Suma de un múltiplo de un renglón a otro renglón. Matriz original: 1er renglón por -2, y el resultado se suma al tercero:

Solución de un S.E.L. con álgebra

Solución de un S.E.L. con matrices (eliminación Gaussiana)

Y al final reescribimos el S.E.L. x -2y +3z =9 y +3z =5 z =2 Y lo resolvemos con el método de sustitución.

Tarea a) b)

Solución de un S.E.L. con matrices (eliminación Gauss - Jordan) x – 2y +3z = 9 -x +3y = -4 2x - 5y +5z = 17 Matriz: 1 -2 3 9 -1 3 0 -4 2 -5 5 17

Aplicando la eliminación gaussiana se obtiene la siguiente forma escalonada por renglones: 1 -2 3 9 0 1 3 5 0 0 1 2

Aplicando nuevamente operaciones elementales se obtiene el valor directo de cada incógnita: x = 1 y = -1 z = 2

Operaciones con Matrices Dos matrices A y B, son iguales si tienen el mismo orden (m x n) y aij = bij La suma de dos matrices (del mismo orden) se lleva a cabo sumando sus elementos correspondientes: 2 4 1 -5 3 -1 -3 -1 + -2 -6 = -5 -7 5 0 5 7 10 7

Ejemplos:

Multiplicación de un escalar (número) por una matriz y resta de matrices:

Multiplicación de matrices: Si A es una matriz m x n, y B una matriz n x p, entonces el producto AB es una matriz m x p, donde sus términos (cij) serán la suma de los productos de la fila i de A por la columna j de B:

Propiedades de la suma de matrices y la multiplicación por un escalar: A, B, C: matrices m x n. Y c, d: escalares A + 0 = A (Neutro aditivo) A + (-A) = 0 (Inverso aditivo) A+B = B +A (Conmutatividad) A+ (B+C)= (A+B) + C (Asociatividad) (cd)A = c (dA) 1A = A Si cA = 0 entonces c = 0 ó A = 0 c(A + B)= cA + cB (Distributiva) (c + d)A = cA + dA (Distributiva)

Propiedades de la multiplicación de matrices: A, B, C: matrices m x n. Y c un escalar. A(BC) = (AB)C (Asociatividad) A(B + C) = AB + AC (Distributiva) (A + B)C = AC + BC (Distributiva) c (AB) = (cA)B = A(cB)

La multiplicación de matrices NO es conmutativa, es decir AB ≠ BA.

La transpuesta de una matriz se forma al escribir sus columnas como renglones. Si A es m x n, entonces su matriz transpuesta At será n x m.

Matriz Identidad: 1 0 0 0 … I = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ... 1

Inversa de una matriz: Una matriz A n x n es invertible (o no singular) si hay una matriz B n x n tal que: AB = BA = I Donde I es la matriz identidad de orden n x n. La matriz B se le llama inversa (multiplicativa) de la matriz A. Una matriz que no tiene inversa se denomina no invertible ( o singular).

Inversa de una matriz con la Eliminación Gauss - Jordan