Sesión 12.2 Sistemas lineales y método de Gauss

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Habilidades Expresa un sistema de ecuaciones lineales por medio de una matriz ampliada. Aplica las operaciones elementales de fila (renglón) sobre una matriz para escalonarla o escalonarla reducida por filas (renglones). Resuelve un sistema de ecuaciones con el método de Gauss y lo relaciona con el método de la matriz escalonada o escalonada reducida determinando el conjunto solución.

Sistemas de ecuaciones y operaciones con filas (renglones) Para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones 1. 2. 3. Se puede aplicar el método de Gauss, de manera que con operaciones de fila como en el ejemplo 2, se puede llegar a una forma de sistema de ecuaciones similar al ejemplo 1, sin alterar el resultado para x, y y z.

Eliminación gaussiana Las operaciones siguientes producen un sistema equivalente de ecuaciones lineales. 1. Intercambiar cualesquier dos ecuaciones del sistema. 2. Multiplicar (o dividir) una de las ecuaciones entre cualquier número real distinto de cero. 3. Sumar un múltiplo de una ecuación a cualquier otra ecuación del sistema. Según estas indicaciones, resuelva los ejemplos 2 y 3. ¿A qué conclusión llega?

Operaciones elementales por filas Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales (SEL), para aplicar operaciones de fila (renglón R) se escribe la matriz ampliada. Sistema de ecuaciones Matriz ampliada

Proceso de operaciones por filas Multiplique la fila 1 por -3 y sume el resultado a la fila 2: (R2-3R1) (-3)R1+R2 Multiplique la fila 1 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R3-2R1) (-2)R1+R3 Multiplique la fila 2 por -2 y sume el resultado a la fila 3: (R3-2R2) (-2)R2+R3

Forma escalonada por filas de una matriz Una matriz está en la forma escalonada por filas si se satisfacen las condiciones siguientes. 1. Las filas que consisten únicamente en ceros (si los hay) aparecen en la parte inferior de la matriz. 2. En una fila que no consiste sólo de ceros, la primera entrada diferente de cero es 1. 3. El subíndice de la columna con el 1 de más a la derecha aumenta conforme el subíndice de la fila aumenta.

Operaciones elementales por fila sobre una matriz Una combinación de las operaciones siguientes transformará una matriz en la forma escalonada por filas. 1. Intercambiar cualesquiera dos filas. 2. Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real distinto de cero. 3. Sumar un múltiplo de una fila a cualquier otra fila.

Ejemplos Resuelva el sistema con las operaciones elementales por fila. 1. Concluirá que el sistema tiene una solución. 2. Concluirá que el sistema tiene infinitas soluciones. 3. Concluirá que el sistema tiene infinitas soluciones.

Forma escalonada reducida por filas La solución del ejemplo 1 anterior, se pudo haber resuelto de esta manera: Problema original. Proceso Aplicando operaciones de fila. Extensión del proceso Se puede continuar aplicado el proceso y puede implicar un grado mayor de dificultad en dicho proceso.

Resolución de sistemas con matrices inversas Sistemas lineales cuadrados invertibles: Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de n ecuaciones lineales con n variables, dado por AX = B, donde X es una matriz de variables de n  1 y B es la matriz de n  1 de números del lado derecho de las ecuaciones. Si A-1 existe, entonces el sistema de ecuaciones tiene la solución única:

Ejemplo Resuelva el sistema propuesto a sabiendas que y

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 6, 10, 12, 14, 18, 22, 28, 30, 34, 36, 46, 48, 52 y 58 de las páginas 604 y 605. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.