La Elipse Durante muchos siglos se consideró que las orbitas de los planetas eran circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del planeta Marte, Kepler descubrió en 1610, que los planetas giran alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elípticas y el sol ocupa uno de los focos

LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya ubicación en el plano es tal que , la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante. Estos dos puntos fijos del plano, se llaman FOCOS y se designan por y Y P(x,y) O X

Elementos de la elipse Los elementos más importantes de la elipse son: FOCOS: Los puntos fijos RECTA FOCAL: La recta a la que pertenecen los focos RECTA SECUNDARIA: La simetral del segmento CENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos . VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la recta focal. Se designan:

DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento Se considera de longitud 2c. EJE MAYOR: Segmento que se considera de longitud 2 a: a es el valor del semieje mayor . EJE MENOR: Segmento de la recta secundaria interceptada por la elipse . Se considera de longitud 2b : b es el valor del semieje menor. DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento Se considera de longitud 2c. LADO RECTO : Cuerda focal perpendicular a la recta focal o eje de simetría . Su medida es

Elementos de la elipse En la siguiente elipse identifique los elementos principales de ella b c c a a

Valor de la constante y excentricidad de la elipse A toda elipse se le asocia un número real que llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE, designado por la letra e, y cuyo valor es : Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor está asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos elipses ”más o menos achatadas. La excentricidad de la elipse es un número menor que 1. Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se forma una circunferencia. Valor de la constante = 2a

Ejemplo: 4 -3 3 -4 4 5 5 o o -4 Elipse de excentricidad e = Elipse de excentricidad e=

Valor de la constante P Luego:

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE y (eje focal en el eje X) (0,b) P(x,y) La ecuación canónica de la elipse es : (a,0) (-a,0) X (0,-b)

Ecuación canónica de la elipse ( Eje focal en el eje Y ) Y (0,a) (-b,0) (b,0) X (0,-a)

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de la elipse con focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8 Solución: eje focal coincide con el eje Y Luego c = 6 ; b = 8 y a = 10 La ecuación pedida es :

Ejemplo 2 Encontremos los elementos de elipse de ecuación Tenemos a = 5 y b = 3, además C = 4, los elementos de la elipse son : FOCOS: EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10 EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6 LADO RECTO :

VERTICES: (5,0) y ( -5,0) EXCENTRICIDAD: y 3 -5 5 -4 4 X -3

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA ELIPSE Sea el centro de la elipse el punto C(h,k) y el eje focal paralelo al eje X Y La ecuación principal de la elipse con centro en C(h,k) es: Picasa 3 O k h X

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Al desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando la ecuación principal de la elipse e igualando a cero, encontramos la ecuación equivalente , llamada ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE A<B

EJEMPLO 1 Dada la ecuación principal de la elipse Determine la ecuación general de la elipse Solución :

Ejemplo 2 Determinemos los elementos de la elipse de ecuación: Ordenamos la ecuación para completar los cuadrados de binomio

Luego: h=8 y k =-3, (8,-3) además Como esta elipse ha sido trasladada con respecto a su posición canónica, su eje focal también se ha trasladado en h=8 unidades. Por lo tanto, las coordenadas de los focos son:

En forma grafica tenemos: Y 12 8 4 X -3 C(8,-3)

Actividad Resuelva en su cuaderno 1.Determine la ecuación de la elipse con centro en (3,1), uno de sus vértices es el punto (3,2) y tiene excentricidad 2. Determine la ecuación principal y los elementos de cada una de las siguientes elipses. a)

b) c) d)

a) C(2,-3); Eje mayor = 8; L.R.= 9/2, Eje focal paralelo al eje Y. 3. Determine la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x,y) del plano, cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y (-5,1) es 20. 4. Determine la ecuación de la elipse con los elementos dados en cada caso. a) C(2,-3); Eje mayor = 8; L.R.= 9/2, Eje focal paralelo al eje Y. b) Focos (4,1) y (-6,1); Eje mayor = 12