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Secciones Cónicas
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SE LLAMAN SECCIONES CÓNICAS PORQUE PROVIENEN DE LA INTERSECCIÓN DE UN CONO CON UN PLANO.
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1. Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto llamado CENTRO es constante, a dicha distancia se llama RADIO.
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Ejercicio: La ecuación de la circunferencia de centro (a,b)
Y radio r en forma REDUCIDA es: La ecuación de la circunferencia en forma DESARROLADA es: Ejercicio: Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto C=(3,0) y cuyo radio mide 3cm.
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Ecuación desarrollada.
Ecuación reducida. OPERANDO Ecuación desarrollada.
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Ejercicio: Calcula los elementos de las circunferencias siguientes:
2x²+2y²-12x+16y-50=0. (x-2)²+(y-3)²-16=0. (3x-2)²+(3y-3)²-144=0.
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Ejercicio: Posición relativa “RECTA y CIRCUNFERENCIA”:
Para estudiar la posición se resuelve el sistema de ecuaciones. Paso 1: despejamos de la lineal. Paso 2: sustituimos en la no lineal Ejercicio: Estudia la posición relativa de la recta r:x-y+5=0 y la circunferencia x²+y²-6x+8y-25=0 ESQUEMA
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Ejercicio: Posición relativa “DOS CIRCUNFERENCIAS”:
Paso 1: Calculamos la distancia entre los centros. Paso 2: Calculamos la suma de los radios. Paso 3: Calculamos la resta de los radios. Paso 4: Aplicamos la tabla siguiente Pág. 142 del libro Ejercicio: Estudia la posición relativa de las circunferencias: C1: x²+y²-6x+8y-25=0 C2: x²+y²-1=0
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POTENCIA: Se cumple que: Esto es lo mismo que: Es decir:
A esta constante la llamamos potencia del punto P respecto de la circunferencia C.
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Para calcular la potencia de un punto respecto a C, hay que sustituir el punto en C.
La potencia sirve para saber la posición relativa entre un punto y una circunferencia: Ejercicio: Estudia la posición de P(-3,2), Q(0,6) y R=(1,2) respecto de C: x²+y²-6y=0 ESQUEMA
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Ejercicio: Estudia para qué valores de m el punto P=(5,m) es interior , exterior o perteneciente a la circunferencia C: x²+y²-4x-4y-17=0 Calcula el lugar geométrico del plano que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias C1:x²+y²-4x-4y-17=0 C2: x²+y²+1=0
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EJE RADICAL: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las dos circunferencias:
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Propiedades del eje radical:
1.-Es perpendicular a la recta que une los centros. 2.-Pasa por el punto medio de las tangentes exteriores comunes. 3.-Si las circunferencias son secantes pasa por los puntos de corte. 4.-Si son tangentes, el eje radical es tangente en el punto de tangencia.
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Ejercicio: Halla el centro radical de las circunferencias siguientes:
C1: x²+y²=16 C2: x²+y²-2x+4y-4=0 C3: x²+y²+6x-6y+14=0 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto C(1,4) y es tangente a la recta 3x+4y-4=0. Calcula la ecuación de una circunferencia concéntrica a C: 4x²+4y²-24x+4y+33=0 y cuyo radio mide la mitad.
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Ejercicio: Calcula el eje radical de las circunferencias: C1: x²+y²-4x+2y+4=0 C2: x²+(y-3)²=4 C3:2 x²+2y²+8x-24=0 Calcula la posición relativa de la circunferencia : C1: 2x²+2y²-6x-6y+7=0 Con las circunferencia: C2: x²+y²-2x-3y+3=0 C3: x²+y²=-1/4 C4: 2x²+2y²=5 C5: x²+y²-3y+2=0
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Todo el peso se apoya en el suelo sobre un punto
Todo el peso se apoya en el suelo sobre un punto. La superficie de rozamiento es mínima. LA RUEDA: La primera rueda de la que se tiene constancia se encontró en un grabado de Mesopotamia en el A.C.
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LA NORIA:
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PIEZAS DE INGENIERÍA:
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EL ANILLO: Podemos relacionar el radio “r” o diámetro del anillo con la medida del dedo “L”.
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Podemos construir una espiral, en la naturaleza se encuentra en el caparazón de algunos moluscos.
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DISCO DURO: Podemos calcular la velocidad de giro.
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RUEDA DE PALETAS: Para generar energía no contaminante.
Para las ruedas de molino.
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Cambia la dirección de la fuerza aplicada a un objeto.
LA POLEA:
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PARALELOS Y MERIDIANOS:
Para localizar situaciones y medir distancias. La longitud de un arco es el radio por el ángulo.
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2. Parábola: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.
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Los puntos de la parábola cumplen:
Simplificando esta ecuación queda:
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La parábola en otros casos:
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Ejercicio: Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V(-2,4), su eje es paralelo al eje de ordenadas y la distancia entre su foco y su directriz es de 3 unidades. Parea las siguientes parábolas, calcula las coordenadas del foco y del vértice, la ecuación del eje y de la directriz: x=y²-6y+10 x²-4x=6y-28 ESQUEMA
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PUENTES:
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ANTENA PARABÓLICA:
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TRAYECTORIAS DE PROYECTILES:
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PISTAS DE PATINAJE
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NAVES ESPACIALES
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CIUDAD Y ARTES DE LAS CIENCIAS (VALENCIA)
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3. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.
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Ecuación fundamental de la elipse:
La elipse cumple que la suma de las distancias de cada foco al punto P es siempre la misma: Ecuación fundamental de la elipse: La excentricidad de la elipse es: Si e=0 es una circunferencia Si e= 1 es una recta e SIEMPRE ESTÁ ENTRE 0 Y 1
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Operando y reduciendo lo máximo posible nos queda:
Esta es la ecuación reducida de la elipse.
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La elipse en otros casos:
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Ejercicio: Dada la elipse de ecuación 4x²+9y²=36, calcula el valor de sus semiejes, su semidistancia focal, su excentricidad y las coordenadas de los focos y vértices. Calcula la ecuación reducida de la elipse sabiendo que uno de sus focos es el punto F(0,-6) y su excentricidad es e=0’6. ESQUEMA
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ANFITEATROS: El anfiteatro de Pompeya.
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LA CASA BLANCA: Plaza elíptica.
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CIRCUNFERENCIAS: Vistas en perspectiva.
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LEY DE KEPLER: Determina la velocidad de los planetas.
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Arte en las calles de Chicago.
CLOUD GATE ELIPSE
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FELICE VARINI Arte y geometría.
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4. Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.
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Ecuación fundamental de la hipérbola:
En este caso: Ecuación fundamental de la hipérbola: La excentricidad de la elipse es: Si e= 1 es una recta e SIEMPRE ES MAYOR QUE 1
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Las asíntotas de la hipérbola son:
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Operando y reduciendo lo máximo posible nos queda:
Esta es la ecuación reducida de la hipérbola.
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La hipérbola en otros casos:
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Ejercicio: Dada la hipérbola de ecuación x²-9y²=9, calcula sus elementos. Calcula la ecuación de una hipérbola en cada uno de los casos: Vértice A(5,0 )y foco F(8,0). Foco F(15/4,0) y pasa por el punto P(5,3). Asíntota y=2x y eje real 2ª. ESQUEMA
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Aeropuerto de Barcelona.
TORRE DE AERPUERTO
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CHIMENEAS EN CENTRALES TÉRMICAS
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INTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUA
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BÓBEDAS DE LA SAGRADA FAMILIA:
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Fin
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La excentricidad mide lo “achatada” que está la elipse, cuanto más cerca de uno está su valor, más achatada está. VOLVER
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