@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 Bloque II * Tema 059 OPERACIONES Y DEPENDENCIA LINEAL

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 SUMA DE VECTORES ASOCIATIVA u+(v+w)=(u+v)+w COMMUTATIVA u+v=v+u ELEMENTO NEUTRO u+0=u ELEMENTO OPUESTO u+(-u)=0 PROPIEDADES PRODUCTO DE VECTORES DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA a(u+v)=au+av DISTRIBUTIVA RESPECTO A COEFICIENTES (a+b)u = au+bu ASOCIATIVA a(bu)=(ab)u ELEMENTO NEUTRO 1u=u

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Proceso analìtico utilizando coordenadas cartesianas Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) La suma será: S = v+u = (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) La suma será: S = (3+2, 4+7) = (5, 9) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) La suma será: S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) EJEMPLO_3 Sea el vector v =(7, 4) y el vector u =(7, - 4) La suma será: S = (7+7, 4 - 4) = (14, 0)  Vector horizontal SUMA DE VECTORES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Suma geométrica de dos vectores Se lleva a continuación de uno cualquiera el otro, de forma que la suma es el vector que tiene: Como principio o punto de aplicación, el del primer vector. Como final el final del segundo vector. El segundo vector, u, actúa como vector libre al desplazarse paralelamente a sí mismo para sumarse con el primer vector v. v =(5,3) u =(5, 0) S=(10,3)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Suma geométrica de tres vectores Se lleva a continuación de uno cualquiera otro, y a continuación del segundo el tercer vector, de forma que la suma es el vector que tiene: Como principio o punto de aplicación, el del primer vector. Como final o extremo, el final o extremo del último vector. El segundo vector, u, al igual que el tercero, w, actúan como vectores libres al desplazarse paralelamente a sí mismos para sumarse con el primer vector v. w =(-2, 2) u =(3, 0) S=(6, 1) v =(5, 3) w =(-2, 2)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Producto de un vector por un número. Sea el vector v = (a, b) no nulo (a<>0 o b<>0) El producto de un número real, k, no nulo por el vector libre v, es otro vector caracterizado por: Tener la misma dirección de v. Su módulo es |k| veces el módulo de v. El sentido el mismo que v si k es positivo, y sentido opuesto al de v si k es negativo. v =(3,2) (- 3).u =(´-3.1, -3.1) = (- 3, - 3) 2.v =(2.3, 2.2) = (6, 4) Ejemplo: Sea k=2 y v=(3,2) Ejemplo: Sea k= - 3 y u=(1,1)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) Cualquier otro vector, w, del plano se podrá conseguir mediante la combinación de los dos primeros vectores. Es decir, siempre habrá un par de números reales, k y h, no simutáneamente nulos, tal que: w=k.(a, b) + h.(c, d) Se dice entonces que w depende linealmente de v y u. También que w es combinación lineal de u y v. EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4), el vector u= (2, 1) y el vector w=(5, 10) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 10) = a.(3, 4) + b.(2, 1) (5, 10) = (3a, 4a) + (2b, b) (5, 10) = (3a + 2b, 4a + b) 3.a + 2.b = 5 4.a + b = 10Por Reducción: - 5.a = - 15  a = 3  b = -2 COMBINACIÓN LINEAL

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Gráfica del Ejemplo 1 u =(2, 1) v =(3, 4) w =(5, 10) 3.v -2u

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (0, 4), el vector u= (5, 0) y el vector w=(3, 6) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (3, 6) = a.(0, 4) + b.(5, 0) (3, 6) = (0.a, 4.a) + (5.b, 0.b) (3, 6) = (0, 4.a) + (5.b, 0) b = 3 4.a + 0 = 6 b = 3/5 = 0,6 a = 6/4 = 1,5

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 Gráfica del Ejemplo 2 u =(5, 0) v =(0, 4) w =(3, 6) 1,5.v 0,6u

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-3, 4), el vector u= (2, -3) y el vector w=(5, 5) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 5) = a.(-3, 4) + b.(2, -3) (5, 5) = (-3a, 4a) + (2b, -3b) (5, 5) = (-3a + 2b, 4a – 3b) -3.a + 2.b = 5 4.a – 3b = 5 Por Reducción: -12.a + 8.b = a – 9b = 15 Sumando ambas: - b = 35  a = (15 + 9b)/12 = -300/12= - 25