Sistemas de Ecuaciones Diferenciales: Mezclas José Daniel Eduardo Saavedra Mantilla Michael David Ruiz Leal Michelle Stephany Rusinque Cifuentes
¿Qué es un modelo matemático? Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático Lenguaje Matematico Universo No matematico
Pasos para plantear un modelo matemático La formulación de un modelo matemático implica: Identificar las variables causantes del cambio del sistema Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema ( leyes empíricas aplicables)
Planteamiento de la hipótesis La hipótesis de un sistema implica con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen.
Problema Dos grandes tanques, cada uno con 100 litros de agua se encuentran interconectados por medio de tubos. El agua fluye del tanque A al B a 3 L/m y de B a A a 1 L/m. Una solución de salmuera con concentración de 2 Kg/L fluye hacia el tanque A a 6L/m. La solución diluida sale del tanque A a 4L/m y del tanque B a 2L/m. El tanque A contenía agua pura y el tanque B 200 kg de sal. Se pide hallar las variación de sal en los tanques A y B.
Explicación Variables de cambio: Cantidad agua (A), cantidad sal en cada tanque (x(t),y(t))y el tiempo que trascurre. Establecer un conjunto de hipótesis: X´(t)=VI-VS; tanque A Y´(T)=VI-VS; tanque B
Tanque A Vi= (6 𝐿 𝑚 )(2 𝐾𝑔 𝑚 )+(1 𝐿 𝑚 )( 𝑦(𝑡) 100 𝑘𝑔/𝐿 ) Vf=(4 𝐿 𝑚 ) ( 𝑥(𝑡) 100 𝑘𝑔/𝐿 )+ (3 𝐿 𝑚 )( 𝑥(𝑡) 100 𝑘𝑔/𝐿 ) X´(t)=( −7𝑥(𝑡) 100 )+( 𝑦(𝑡) 100 )+12
Tanque B Y´(t)= Vi-Vf Vi= (3 𝐿 𝑚 )( 𝑥(𝑡) 100 𝑘𝑔/𝐿 )
Problema de Valor Inicial X´(t)=( −7𝑥(𝑡) 100 )+( 𝑦(𝑡) 100 )+12 P.V.I Y´(t)=( 3∗𝑥(𝑡) 100 )-( 3∗𝑦(𝑡) 100 ) X(0)=0; Y(0)=200