Resolución de sistemas mediante determinantes Fórmula de Cramer para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Teorema de Rouché-Frobenius

Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Sea el sistema de ecuaciones lineales (de n ecuaciones con n incógnitas) Que podemos poner en forma matricial, como

Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Denominando Para que este sistema tenga solución, se debe de cumplir

Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Cuya solución matricial, vendrá dada por

Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Que desarrollando cada uno de sus elementos será

Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones Como se cumple

Fórmula de Cramer de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas El sistema tendrá solución y vendrá dado por

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Sea el sistema de ecuaciones lineales (de m ecuaciones con n incógnitas)

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Si este sistema es compatible, existirá un número natural r  min(m,n), tal que Rango(A) = r. Por tanto existirá una submatriz cuadrada Ar de orden r, que podemos suponer, sin perdida de generalidad (basta con reordenar coeficientes y variables) que dicha submatriz es: Eliminando las últimas m-r ecuaciones y denominando (x1, x2, … , xr) variables principales (xr+1, xr+2, … , xn) variables secundarias Podemos resolver el sistema, tomando las variables secundarias como parámetros

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Es decir resolvemos el sistema O en forma matricial

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Aplicando el método de Cramer, y desarrollando sus elementos será

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones Como se cumple Es un sistema linealmente independiente y su solución dependerá de un parámetro, y dado que

Método de Cramer de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Es equivalente a resolver el sistema Que aplicando la regla de Cramer, obtendremos

Teorema de Rouché-Frobenius Sea el sistema de ecuaciones lineales (de n ecuaciones con n incógnitas) Que podemos poner en forma matricial, como

Teorema de Rouché-Frobenius Es compatible  rango A = rango (A,B) . El rango (A,B) coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes de (A,B) . Además, en el caso de que sea un sistema compatible, será Compatible determinado si Rango A = n Compatible indeterminado si Rango A < n

Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo.- Analizar los valores del parámetro a para que tenga solución real el sistema Como Rango A = 2 y Determinante (A,B) = 5 a – 5 1) Si a = 1, Rango A = Rango (A,B) = 2 Y el sistema es compatible determinado de solución (x,y) = (1,1) 2) Si a  1, Rango A = 2 < Rango (A,B) = 3 Y el sistema es incompatible y el sistema no tiene solución

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