Unidad 1. Números reales Algebra superior

Los números racionales Unidad 1. Números reales Álgebra superior Da clic en cada título para conocer su definición, operaciones y propiedades Los números naturales Los números primos Los números enteros Los números racionales Los números reales Ejercicios

Los números naturales Se les llama números naturales a aquellos números que sirven para contar los elementos de un conjunto, se designan por: N ={0,1,2,3,4,...} Gráficamente se representan en la recta numérica, el primer elemento es el cero y se extienden hasta el infinito. … Con los números naturales se pueden realizar dos operaciones básicas: La suma y el producto y cumplen con las siguientes propiedades:

a + b = c a b = c a + b = b + a a b = b a (a b) c = a (b c) Los números naturales Propiedades de la suma y el producto de los números naturales Suma Multiplicación Cerradura. Cuando se suman dos números naturales, a y b, se obtiene otro número natural, c Cerradura. Cuando se multiplican dos números naturales, a y b , se obtiene otro número natural c Conmutatividad. Para todo a y b en N, Asociatividad. Para todo a, b y c en N, Elemento neutro aditivo. El elemento neutro para la adición es el cero. Para todo a en N, Elemento neutro multiplicativo. El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para todo a en N, Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a, b y c en N se tiene que: a + b = c a b = c a + b = b + a a b = b a (a b) c = a (b c) (a + b) + c = a + (b +c) a + 0 = a a 1 = a a (b + c) = a b + a c

Por convención 0 y 1 no son primos. Los números primos Los números naturales que sólo tienen como factores a ellos mismos y a la unidad se llaman números primos; los que tienen, además a otros factores, se les llama números compuestos.  Por convención 0 y 1 no son primos. Ejemplo. Los números primos que hay entre 2 y 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 El teorema más importante relacionado con los números naturales es el Teorema fundamental de la aritmética el cual dice: Todo número natural diferente de 0 o 1 puede descomponerse como producto de factores primos (la descomposición es única). Ejemplo

Los números primos La descomposición en factores primos de 317520 esta dada por: 317520 2 158760 2 79380 2 39690 2 19845 3 6615 3 2205 3 735 3 245 5 49 7 1 Por lo tanto: 317520 = 2 2 2 3 3 3 3 5 7

Los números enteros El conjunto de los números enteros se representa por Z y está dado como la unión de los naturales y sus inversos aditivos: Z =N U {-1,-2,-3,-4,...} Los números enteros cumplen con las propiedades de los números naturales y tienen una propiedad adicional. Para todo número a en Z existe su inverso aditivo en Z , que se denota por –a, tal que: Con lo que incluimos a la resta dentro de las operaciones que realizamos con los números que hasta ahora conoces. a +(-a) = 0

Los números racionales Un número racional es el cociente de dos números enteros a y b, en donde b ≠ 0 . Se representa como: a b Este tipo de números forman en conjunto de números racionales que se denota con la letra Q Ejemplos. 8 5 5 1 1 4 Si se tienen dos números racionales a /b y c/d se definen dos propiedades básicas: La suma: a b c d + = ad + bc bd La multiplicación: a b c d = ac bd

a /b + c/d = e /f a /b c/d = g/h a + b = b + a a b = b a Los números racionales Estas operaciones (suma y multiplicación) tienen las siguientes propiedades: Suma Multiplicación Cerradura. Cuando se suman dos números racionales, a /b y c/d, se obtiene otro número racional e /f Cerradura. Cuando se multiplican dos números racionales, a /b y c/d, se obtiene otro número racional g /h Conmutatividad. Para todo a y b en N, Asociatividad. Para todo a, b y c en N, Elemento neutro aditivo. El elemento neutro para la adición es el cero. Para todo a en N, Elemento neutro multiplicativo. El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para todo a en N, Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a, b y c en N se tiene que: a /b + c/d = e /f a /b c/d = g/h a + b = b + a a b = b a (a b) c = a (b c) (a + b) + c = a + (b +c) a + 0 = a a 1 = a a (b + c) = a b + a c

Los números reales Antes de ver el concepto de números reales, definamos a los números irracionales. Los números irracionales son aquellos cuyos decimales son infinitos y sin periodicidad. Se representan con la letra I Ejemplos: π = 3.141592654…, e = 2.718281828459, √2 =1.414213562 Entonces, el conjunto de los números reales está formado por la unión del conjunto de los números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (I). Se representan con la letra R R = Q U I Los números reales satisfacen todas las propiedades de los conjuntos anteriores, además de tener un orden que se puede definir de igual manera que con los otros conjuntos de números.

Realiza la siguiente operación: -15+7.5-8+22+2 5. Soluciones Ejercicios 1. Verifica que se cumplen las propiedades de las operaciones de los siguientes números 3, 5 y 6. Completa la siguiente tabla colocando la propiedad de los números enteros que se aplica o bien cómo se lleva a cabo el proceso. 2. Verifica si los siguientes números primos 5 y 7 cumplen con la propiedad de cerradura bajo la suma. 3. Aplica las propiedades de las operaciones de los números reales para justificar la siguiente igualdad: 5 – 8 + 6 = 5 + 6 – 8 4. Realiza la siguiente operación: -15+7.5-8+22+2 5. Soluciones

Soluciones 1. Verifica que se cumplen las propiedades de las operaciones de los siguientes números 3, 5 y 6. Solución

Soluciones Completa la siguiente tabla colocando la propiedad de los números enteros que se aplica o bien cómo se lleva a cabo el proceso. 2. Solución

En esta igualdad se aplica la propiedad conmutativad a + b = b + a. Ejercicios 3. Verifica si los siguientes números primos 5 y 7 cumplen con la propiedad de cerradura bajo la suma. Solución Propiedad de cerradura bajo la suma. La suma de dos números primos da como resultado un número primo.   Sea a = 5 y b=7, entonces 5 + 7 = 12 el cuál es un número compuesto, por lo tanto no se cumple la propiedad de cerradura. Aplica las propiedades de las operaciones de los números reales para justificar la siguiente igualdad: 5 – 8 + 6 = 5 + 6 – 8 4. Solución En esta igualdad se aplica la propiedad conmutativad a + b = b + a. Realiza la siguiente operación: -15+7.5-8+22+2 5. Solución -15+7.5-8+22+2 = -9.5