OPERACIONES CON FUNCIONES DÍA 28 * 1º BAD CS

OPERACIONES CON FUNCIONES FUNCIÓN SUMA (DIFERENCIA) Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función SUMA (DIFERENCIA) y la denotamos así: (f±g)(x) = f(x) ± g(x) Para Vxє[Dom f(x) ^Dom g(x)] FUNCIÓN PRODUCTO Llamamos función PRODUCTO y la denotamos así: (f.g)(x) = f(x) . g(x) Para Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)] FUNCIÓN DIVISIÓN Llamamos función DIVISIÓN y la denotamos así: (f/g)(x) = f(x) / g(x) Para Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)] , con g(x)<>0 FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) una función real de variable real tal que f(x) <>0. Llamamos función RECÍPROCA y la denotamos así: (1/f)(x) = 1 / f(x)

EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x+1 + 1 / ( x – 1) = (x2 – 1 +1) /(x-1) = x2 / (x-1) Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1 EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = √x y g(x) = √-x Dom f(x) = R+ , pues x debe ser positivo para que exista una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R- , pues x debe ser negativo para que exista una imagen o valor de f(x) Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x +√-x Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios. La función suma sólo existe cuando x=0

EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x -1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f . g)(x) = f(x) . g(x) = ( x – 1) . 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1 A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x , el Dom (f .g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = √x - 1 y g(x) = √ 2 - x Dom f(x) = V x є [1 , +∞) Dom g(x) = V x є (-∞ , 2] Sea (f .g)(x) = f(x) . g(x) = √x-1 .√2-x = √ - x2 + 3x - 2 Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios.

EJEMPLO 1 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = x , tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = 1 / x , donde el Dom (1/f)(x) = R – {0} EJEMPLO 2 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = 1 / (x – 2) , tal que f(x) <>0 . (1/f)(x) = 1 / f(x) = x - 2 , donde el Dom (1/f)(x) = R EJEMPLO 3 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = ( x – 1) / (x + 2) , tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = (x + 2) / (x -1) , donde el Dom (1/f)(x) = R – {1} pues en x=1  f(x) = 0

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: (f o g)(x) = f [ g (x) ] (g o f)(x) = g [ f (x) ] Ejemplo_1 Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2 Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

Ejemplo_2 Ejemplo_3 Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_3 Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1 Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

Ejemplo_4 Ejemplo_5 3 Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 3 6 3 3 6 3 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x 3 3 (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_5 Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 ,, h(x) = √x (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen ((√ x)2 – 1) = sen (x – 1) (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen √ x) 2 – 1 A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles.