Aritmética y Álgebra Razones/Proporciones/Porcentajes Exponentes y Radicales Productos Notables y Factorización Sesión I

Razones y Proporciones  Es un concepto matemático puede ser usado para resolver problemas en innumerables situaciones. De la misma forma, también se le puede interpretar de varias maneras. Así, el concepto cumple dos funciones: es una herramienta para la solución de problemas y es parte integrante del constructo matemático.

¿Qué es una razón? En Matemáticas el término “razón” proviene del concepto racional, y los racionales son el conjunto de números que pueden expresarse como una división o fracción de 2 números enteros; es decir: ½, -3/7, 25/5, 8/-2, etc Están también los números irracionales y son aquellos que NO pueden expresarse como división de 2 enteros: √2, Pi, √3, e…

La clasificación de problemas de proporcionalidad elaborada por Lesh, Post y Behr (citados por Overa 2009) es la más completa acerca de los usos de las razones y proporciones; en los cuales queda claro que ambos conceptos matemáticos están “enlazados” y se parecen en demasía pero cada uno de ellos observa el problema a resolver desde una perspectiva diferente.

Clasificación de los usos de las razone y proporciones Valor faltante Comparación Transformación Valores medios Proporciones de conversiones de razones a índices o fracciones Proporciones que utilicen unidades de medición y números Problemas de traducción entre sistemas de representación

Valor faltante (Regla de 3) A = C B D donde tres valores (incluyendo un par que indica el índice) son proporcionados y la meta es encontrar la parte faltante del segundo (y equivalente) par.

Comparación Dadas las razones , donde se proporcionan los valores y la meta, es decir, si  responder si la razón A:B es mayor, menor o igual a la razón C:D.

Transformación Se divide en dos juicios de dirección de cambio y transformaciones para producir una igualdad. a) Juicios de dirección de cambio: se proporciona una equivalencia de la forma a/b = c/d. Después, uno o dos de los cuatro valores, a, b, c o d aumenta o disminuye en cierta cantidad y la meta es decir cuál de las relaciones (<, >, =) es verdadera para los valores transformados.

Transformaciones para producir igualdad: se proporciona una desigualdad de la forma : Después, se debe encontrar un valor x para alguno de los cuatro valores de a, b, c o d, de forma que, por ejemplo 

Valores medios Se proporcionan dos valores y la meta es encontrar el tercero. En esta categoría encontramos dos tipos de problemas. a) Medias geométricas.  b) Medias armónicas. Proporciones de conversiones de razones a índices o fracciones Es cuando se calcula cierto porcentaje de alguna cantidad.

Proporciones que utilicen unidades de medición y números Esto sucede regularmente en los problemas de Física, pues de manera frecuente se deben calcular las cantidades en diferentes unidades de medida. Problemas de traducción entre sistemas de representación. Una razón (o fracción o índice o cociente) se da en una de las representaciones del sistema y la meta es reproducir la misma relación utilizando otro sistema de representación. Dicho con otras palabras: el alumno debe trasladar la misma relación a otro modo (gráfico, en tabla, etc).

Exponentes Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la siguiente tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente  ”a la n”. El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base.

Fórmulas: Ampliando la definición a exponentes negativos y a cero:

Radicales

Donde n y m son enteros positivos: